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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑2022高考数学压轴题精练三 2022高考数学压轴题精练三 1（本小题总分值13分） 如 图 ， 已 知 双 曲 线 C ： x2y2?1(a?0，b?0)的右准线l1与一条渐近a2b2线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点. ? （I）求证：OM?MF； ? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?6，求双曲线C的方程； 2 （III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、 ?Q且P在A、Q之间，得志AP?AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明. ba2解：（I）?右准线l1：x?，渐近线l2：y?
2、x ac?a2aba2ab222 ?M(，)，?F(c，0)，c?a?b，?OM?(，) cccc?a2abb2ab，?)?(，?) MF?(c?cccc?a2b2a2b2?2?0 ?OM?MF?2cc （II）?e?OM?MF 3分 6b2，?e2?1?，?a2?2b2 2a2?b4a2b2b2(b2?a2)?|MF|?1，?2?2?1，?1 ccc2?b2?1，a2?1x2?y2?1 ?双曲线C的方程为：2 7分 （III）由题意可得0?1 8分 证明：设l3：y?kx?1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2) ?x2?2y2?2 由?得(1?2k2)x2?4kx?4?0 ?y?kx?1
3、?l3与双曲线C右支交于不同的两点P、Q ?1?2k2?0?22?16k?16(1?2k)?0? ?x?x?4k?0121?2k2?4?0?x1x2?1?2k2? ?1?k?2k?2?2 ?k?1?k?0?2?1?2k?0 11分 2 2? ?AP?AQ，?(x1，y1?1)?(x2，y2?1)，得x1?x2 4k42，?x?21?2k21?2k2 222(1?)16k4k2?2?4(1?2k2)2k2?12k2?1?(1?)x2?2(1?)22，?0?2k?1?1，?4 ?1?k?2? ?(1?)?4?2?2?2?1?0 13分 ?的取值范围是（0，1） 2（本小题总分值13分） (x?0)
4、?0已知函数f(x)?nx?(n?1)?f(n?1)数列an得志an?f(n)(n?N*) （I）求数列an的通项公式； (n?1?x?n，n?N*)， （II）设x轴、直线x?a与函数y?f(x)的图象所围成的封闭图形的面积为 S(a)(a?0)，求S(n)?S(n?1)(n?N*)； （III）在集合M?N|N?2k，k?Z，且1000?k?1500中，是否存在正整数N，使得不等式an?1005?S(n)?S(n?1)对一切n?N恒成立？若存在，那么这样的正整数N共有多少个？并求出得志条件的最小的正整数N；若不存在，请说明理由. （IV）请构造一个与an有关的数列bn，使得lim(b1?b
5、2?bn)存在，并求出 n?这个极限值. 解：（I）?n?N* ?f(n)?nn?(n?1)?f(n?1)?n?f(n?1) ?f(n)?f(n?1)?n 1分 ?f(1)?f(0)?1 f(2)?f(1)?2 f(3)?f(2)?3 f(n)?f(n?1)?n 将这n个式子相加，得 f(n)?f(0)?1?2?3?n?n(n?1) 2?f(0)?0 n(n?1) ?f(n)?2n(n?1)(n?N*) 3分 2 （II）S(n)?S(n?1)为一向角梯形（n?1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底 ?an?边的长分别为f(n?1)，f(n)，高为1 ?S(n)?S(n?1)?a?anf(n?
6、1)?f(n)?1?n?1 226分 1n(n?1)n(n?1)n2? ? 2222 （III）设得志条件的正整数N存在，那么 n(n?1)n2n?1005?1005?n?2022 222 又M?2000，2022，?，2022，2022，2022，?，2998 ?N?2022，2022，2998均得志条件 它们构成首项为2022，公差为2的等差数列. 设共有m个得志条件的正整数N，那么2022?2(m?1)?2998，解得m?495 ?M中得志条件的正整数N存在，共有495个，Nmin?2022 9分 （IV）设bn?2111?2(?) ，即bn?n(n?1)nn?1an11111111)?
7、(?)?(?)?(?)?2(1?) 22334nn?1n?11?210分 鲜明，其极限存在，并且lim(b1?b2?bn)?lim2?n?n?n?1 那么b1?b2?bn?2(1?n1n?n1cn?1 注：bn?（c为非零常数），bn?()，bn?q(0?|q|?1)等都能使 2an2a2an?lim(b1?b2?bn)存在. 19. （本小题总分值14分） y2x2?1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2. 设双曲线2?3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程； （II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
8、 ?（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OPOQ?0. 若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解：（I）?e?2，?c?4a 22 ?c2?a2?3，?a?1，c?2 x23?1，渐近线方程为y? ?双曲线方程为y?x 3324分 （II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点Mx，y ?2|AB|?5|F1F2|55?|AB|?|F1F2|?2c?1022?(x1?x2)2?(y1?y2)2?10 33x1，y2?x2，2x?x1?x2，2y?y1?y23333?y1?y2?(x1?x2)，y1?y2?(x1?x2)33又y1?3(y1
9、?y2)?2?3?(x1?x2)?10?3?21x23y22?1 ?3(2y)?(2x)?100，即375252 那么M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为（9分） （III）假设存在得志条件的直线l 设l：y?k(x?1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2) 103的椭圆.3 ?OPOQ?0?x1x2?y1y2?0?x1x2?k(x1?1)(x2?1)?0?x1x2?k2?x1x2?(x1?x2)?1?0(i)2 ?y?k(x?1)?由?2x2得(3k?1)x2?6k2x?3k2?3?0y?1 ? 3?6k23k2?3那么x1?x2?2，x1x2?2(ii)3k?13k?1 由（i）（ii）得k?3?0 k不存在，即不存在得志条件的直线l. 14分 2 6
