本文格式为Word版，下载可任意编辑2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析 1 2022年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，那么 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，那么()() 233 2lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，那么以下命题正确的是 ( ) (A)若 1n n u ∞ =∑收敛，那么 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，那么1n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1 n n u ∞ =∑收敛，那么 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，那么1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π= ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，那么,,I J K 的大小关 系是( ) (A) I J K 的泊松分布，12,,,(2)n X X X n ≥为来自该总体的简朴随机样本，那么对于统计量11 1n i i T X n ==∑和121111n i n i T X X n n -==+-∑，有 ( ) (A) 1ET >2ET ,1DT >2DT (B) 1ET >2ET ,1DT 2DT (D) 1ET <2ET ,1DT <2DT 二、填空题：9~14小题，每题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. (9) 设()()0lim 13x t t f x x t →=+，那么()f x '= . (10) 设函数1x y x z y ? ?=+ ???，那么()1,1=dz . (11) 曲线tan 4y x y e π??++ = ???在点()0,0处的切线方程为 . (12) 曲线y = 2x =及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积为 . (13) 设二次型()123,,T f x x x x Ax =的秩为1， x Q y =下的标准形为 . (14) 设二维随机变量(),X Y 按照正态分布(,μN 三、解答题：15~23小题，共94分.证明过程或演算步骤. (15) (此题总分值10分) 求极限0x → 1 (16) (此题总分值10分) 已知函数(),f u v 具有连续的二阶偏导数，()1,12f =是(),f u v 的极值， ()(,,)z f x y f x y =+.求()21,1z x y ??? (17) (此题总分值10分) 求不定积分 (18) (此题总分值10分) 证明方程44arctan 03 x x π-+ =恰有两个实根. (19)(此题总分值10分) 设函数()f x 在区间[]0,1具有连续导数，(0)1f =，且得志 '()()+=????t t D D f x y dxdy f t dxdy , {}(,)0,0(01)=≤≤-≤≤<≤t D x y y t x x t t ，求()f x 的表达式. (20) (此题总分值11分) 设向量组()11,0,1T α=，()20,1,1T α=，()31,3,5T α= 不能由向量组()11,1,1β=T , ()21,2,3T β=,()33,4,β=T a 线性表出. (I)求a 的值 ； (II)将1β，2β，3β用1α，2α，3α线性表出. (21) (此题总分值11分) A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且111100001111A -???? ? ?= ? ? ? ?-???? (I) 求A 的全体特征值与特征向量; (II) 求矩阵A . (22)(此题总分值11分) 设随机变量 与的概率分布分别为 1 且22()1P X Y ==. (I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ. (23)(此题总分值11分) 设二维随机变量(,)X Y 按照区域G 上的平匀分布，其中G 是由0,2x y x y -=+=与0y =所围成的三角形区域. (I) 求X 的概率密度()X f x ； (II) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . 1 2022年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题及答案解析 一、选择题：1～8小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，那么 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 【答案】 (C) 【详解】此题涉及到的主要学识点： 当0x →时，sin x x 在此题中， 03sin sin 3lim k x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim k x x x x x x cx →--= ()20sin 3cos 22cos lim k x x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x x cx -→--= ()2210 32cos 12cos lim k x x x cx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 3 04lim 14,3k x c k cx -→==?==， 应选择(C). (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，那么()()23302lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. 【答案】(B) 【详解】此题涉及到的主要学识点： 导数的定义 0000()()lim ()x f x x f x f x x →+-'= 在此题中， ()()()()()()23223330020220lim lim x x x f x f x x f x x f f x f x x →→---+= ()()()()()()()33000lim 20220x f x f f x f f f f x x →??--'''??=-=-=-???? 故应选(B) 1 (3) 设{}n u 是数列，那么以下命题正确的是 ( ) (A)若1 n n u ∞=∑收敛，那么2121()n n n u u ∞-=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，那么1n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1n n u ∞=∑收敛，那么2121()n n n u u ∞-=-∑收敛 (D) 若2121()n n n u u ∞-=-∑收敛，那么1 n n u ∞=∑收敛 【答案】(A) 【详解】此题涉及到的主要学识点： 级数的根本性质 若级数1n n u ∞=∑收敛，那么不变更其项的次序任意加括号，并把每个括号内各 项的和数作为一项，这样所得到的新级数仍收敛，而且其和不变. 在此题中，由于级数2121()n n n u u ∞-=+∑是级数1n n u ∞ =∑经过加括号所构成的，由收敛级数的性质：当 1n n u ∞=∑收敛时，2121()n n n u u ∞-=+∑也收敛，故（A ）正确. (4) 设40ln sin I x dx π=?，40ln cot J x dx π =?，40ln cos K x dx π=?，那么,,I J K 的大小关系 是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << 【答案】(B) 【详解】此题涉及到的主要学识点： 假设在区间[,]a b 上，()()f x g x ≤，那么 ()()b b a a f x dx g x dx ≤??()a b < 在此题中，如下图： 由于04x π <<，所以0sin cos 1cot <<<