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1、本文格式为Word版,下载可任意编辑2022版高中数学苏教版选修2 学识点一 导数的概念 1定义:函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率lim x f?x0x?f?x0? ,称为函数yf(x)在xx0 x0 处的导数 2几何意义:函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0,f(x0)处的切线的斜率,表示为f(x0),其切线方程为 学识点二 根本初等函数的导数公式 1c0. 2(x) 3(ax) 4(ex) . . (a0) lnx1 5(logax)()(a0,且a1) lnaxlna1 6(lnx). x7(sinx) 8(cosx) . . 学识点三 导数的运算法那么 1f(x)g(
2、x) 2f(x)g(x) f?x?3 g?x? (g(x)0) 学识点四 复合函数的求导法那么 1复合函数记法:yf(g(x) 2中间变量代换:yf(u),ug(x) 3逐层求导法那么:yxyuux. 学识点五 函数的单调性、极值与导数 1函数的单调性与导数 在某个区间(a,b)内,假设_,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增;假设_,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减 2函数的极值与导数 (1)极大值:在点xa邻近,得志f(a)f(x),当xa时,_,那么点a叫做函数的极大值点,f(a)叫做函数的极大值; (2)微小值:在点xa邻近,得志f(a)f(x),当xa时,_,那么点a叫做函数
3、的微小值点,f(a)叫做函数的微小值 3求函数f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤 (1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数yf(x)的_与_处的函数值f(a),f(b)对比,其中最大的一个就是_,最小的一个就是_ 学识点六 微积分根本定理 假设f(x)是区间a,b上的连续函数,并且F(x)f(x),那么?baf(x)dx_. 学识点七 定积分的性质 1?bakf(x)dx (k为常数) . 2?bf2(x)dx af1(x)3?b af(x)dx (其中a0),直线l是曲线yf(x)的一条切线,当l的斜率最小时, 3直线l与直线10xy6平行 求a的值; 求f(x)在x3处
4、的切线方程 反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点,若切点未知需设出常见的类型有两种,一类是求“在某点处的切线方程”,那么此点确定为切点,易求斜率进而写出直线方程即可得;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不确定是切点,可先设切点为y0y1Q(x1,y1),由f(x1)和y1f(x1)求出x1,y1的值,转化为第一种类型 x0x1跟踪训练1 直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2,3),那么b_. 类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例2 设a为实数,函数f(x)ex2x2a,xR. (1)求f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当aln21且x0时,exx22ax1
5、. 反思与感悟 此题测验导数的运算,利用导数研究函数的单调性,求函数的极值和证明不等式,测验运算才能、分析问题、解决问题的才能 跟踪训练2 已知函数f(x)(4x24axa2)x,其中a0. (1)当a4时,求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8,求a的值 类型三 生活中的优化问题 例3 某公司为获得更大的收益,每年要投入确定的资金用于广告促销经调查,每年投入广告费t(百万元),可增加销售额约为t25t(百万元)(0t3) (1)若该公司将当年的广告费操纵在3百万元之内,那么应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大? (2)现该公司打定共投入3百万元,分别用
6、于广告促销和技术改造经预料,每投入技术改1 造费x(百万元),可增加的销售额为x3x23x(百万元)请设计一个资金调配方案,使该 3公司由此获得的收益最大 反思与感悟 解决优化问题的步骤: (1)要分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域 (2)要通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具 (3)验证数学问题的解是否得志实际意义 跟踪训练3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米假设建立本金仅与外观积有关,侧面的建立本金为100元/平方米,
7、底面的建立本金为160元/平方米,该蓄水池的总建立本金为12000元(为圆周率) (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域; (2)议论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 类型四 定积分与微积分根本定理 3?x,x0,1?, 例4 (1)设f(x)?那么?20f(x)dx_. ?32x,x1,2,? (2)如图,是由直线yx2,曲线y2x所围成的图形,试求其面积S. 反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤: (1)画出函数的图象,明确平面图形的外形 (2)通过解方程组,求出曲线交点的坐标 (3)确定积分区间与被积函数,转化为定积分计算 (4)对于繁杂的平面图形,往往通过“割补法”来求各片面的面积之和 跟踪训练4 求由抛物线yx21,直线x2,y0所围成的图形的面积 6