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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑高中物理竞赛辅导习题力学部分 力、物体的平衡 补充：杠杆平衡（即力矩平衡），对任意转动点都平衡。 一、力学中常见的三种力 1.重力、重心 ?重心的定义：x?m1gx1?m2gx2?，当坐标原点移到重心上，那么两边的重力矩平衡。 m1g?m2g?重心与质心不确定重合。如很长的、竖直放置的杆，重心和质心不重合。 如将质量平匀的细杆AC（AB=BC=1m）的BC片面对折,求重心。 以重心为转轴，两边的重力力矩平衡（不是重力相等）： GG（0.5-x）=(x+0.25),得x=0.125m（离B点）. 22GG或以A点为转轴：0.5? +(1+0.5)=Gx?, 2
2、2得x?=0.875m，离B点x=1-x?=0.125m. 2.巴普斯定理： ?质量分布平匀的平面薄板：垂直平面运动扫过的体积等于面积乘平面薄板重心通过的路程。 如质量分布平匀的半圆盘的质心离圆心的距离为x， 414R绕直径旋转一周，?R3?2?x?R2，得x? 323?质量分布平匀的、在同一平面内的曲线：垂直曲线所在平面运动扫过的面积等于曲线长度乘曲线的重心通过路程。 如质量分布平匀的半圆形金属丝的质心离圆心的距离为x， 2R绕直径旋转一周，4?R2?2?x?R，得x? ?1. （1）半径R=30cm的平匀圆板上挖出一个半径r=15cm的内 切圆板，如图a所示，求剩下片面的重心。 （2）如图
3、b所示是一个平匀三角形割去一个小三角形 1AB?C?，而B?C?/BC，且?AB?C?的面积为原三角形面积的， 4已知BC边中线长度为L，求剩下片面BCC?B?的重心。 R2L答案：(1) 离圆心的距离；(2)离底边中点的距离 69 解(1)分割法:在留下片面的右边对称处再挖去同样的一个圆,那么它关于圆心对称,它的重心在圆心上,要求的重心就是这两块板的合重心,设板的面密度为?，重心离圆心的距离为x. RRRR 有力矩平衡: ?R2?2()2?x?()2?(?x),得x?=5cm. 2226 填补法:在没挖去的圆上填上一块受”重力”方向向上的圆,相当于挖去片面的重力被抵消,其重 R 心与挖去后的
4、重心一致,同理可得x?. 6 能量守恒法:原圆板的重力势能等于留下片面的重力势能和挖去片面的重力势能之和,可得 Rx?. 61 (2) ?AB?C?的面积为原三角形面积的1/4，质量为原三角形质量的，中线长度应为原三角形中 41线长度的。 2L设原三角形BC边的中线长为L。原重心离BC边的距离为，且在中线上。 3 1 2L，且在原三角形的中线上。 9 斟酌：三根平匀杆AB、BC、CA组成三角形，其重心在哪？（内心，要用解析几何） 2. 完全一致的4块砖，每块砖的长都为0.3m，叠放在水平桌面上，如下图。求它的最大跨度（即桌边 P点离最上面一块砖右边的Q点的水平距离）。（答案：0.3125m）
5、类似于（1）的解法，可得重心离底边中点的距离x? 解：Lm?L1115(1?)?m=0.3125m 223416 3.一薄壁圆柱形烧杯,半径为R,质量为m,重心位于中心线上,离杯底的高度为H,今将水逐渐注入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为?)（答案： ?R? 解:开头注水时共同重心在水面之上,这时假设加水,就等于在共同重心下方加质量,所以重心将会随着水的注入而逐步下降. 当重心下降到水面时,重心最低,由于此时假设再加水,就是在共同重心上方加质量,重心就会升高. 重心最低时水面离杯底的距离为h应得志:?Rhg解得:h?m?m2?2?R2?mH22 h
6、?m?m2?2?R2?mH2） h2 +mgH=(?Rh?+m)hg, 2?R?2.弹力、弹簧的弹力（F=kx,或F=-kx） （1）两弹簧串联总伸长x，F=？ 由x1+x2=x,k1x1=k2x2，得x2?k1xkkx,所以F?k2x2?12?kx. k1?k2k1?k2. （2）并联时F=(k1+k2)x. (3)把劲度系数为k的弹簧均分为10段，每段劲度系数k?=?(10k) 3. 一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆上。一个劲度系数 为k，自然长度为L（L30?。AB杆能衡。 所以人务必从A点沿梯上爬，此时B端受到地面的作用力沿着BC方向。 对整体，根据三力共点，人的重力
7、作用线必通过FA和FB的交点。 设人的水平距离为s，有几何关系（两边高相等）：scot?A=(L-s)cot30?， 得s=0.26L,最大高度H=3s=0.45L。 14. 如下图，一根修长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一 细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90?，且C端正好在A端的正下方。 （1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。 （2）假设AB棒的质量为m1，BC棒的质量为m2，求此外力的大小和方向。 12答案：
8、（1）F的方向与AC夹角范围18?.24?-45?间；（2）F?g2m12?10m2?8m1m2 4 解（1）设F的方向与AC夹角为?，假设当m1质量很小时，AB对BC的作用力沿AB方向，那么F的方向 1-1 必交于AB的中点，?=45?-tan2=18?.24?； 假设当m2质量很小时，那么F的方向沿BC方向，?=45?。 所以F方向的范围是?=18?.24?-45?间。 L （2）以A为转轴，对两棒有：(m1?m2)g?sin450?F?2Lsin?-? 2L以B为转轴，对BC有：m2g?sin450?F?Lsin(450?)-? 2sin(45?-?)=sin45?cos?-cso45?
9、sin?-? 12有?式得F的大小：F?g2m12?10m2?8m1m2； 4F的方向与竖直线的夹角?=tan?1可见，m1=0时，?=tan?1m1?m2. 3m2?m11?18?.24?；m2=0时，?=tan?11?45?. 33.物体的平衡条件：F=0；M=0 15. 质量为m的平匀柔嫩绳,悬挂于同一高度的两固定点A、B之间,已知绳的悬挂点处的切线与水平面夹角 mgmgcot?为?,求绳的悬挂点处及绳的最低点处的张力. （答案：） ,2sin?216. 如下图,质量为m的物体放在斜面上,它跟斜面之间的动摩擦因数 为?.那么当斜面倾角?大于 时,无论水平推力F多大,物体 -1 不成能沿斜
10、面向上运动（答案：cot?） 无论水平推力F多大,物体不成能沿斜面向上运动，这种处境称为自锁。 如放在水平地面上的物体，跟水平面之间的动摩擦因数为?.推力F与水平面之间的夹角为?，那么当?大于时，无论水平推力F多大,物体不成能运动。 ?mg有Fcos?=(mg+Fsin?)?，得F?,推不动：cos?-?sin?=0,cot?=?. cos?sin?或Fcos?（增加的动力）?Fsin?（增加的阻力），得cot?. 17. 有一轻质木板AB长为L,A端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水 平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均为G.木板与墙的夹角为?(如下图).一切摩擦均不计,求BC绳的 5 7
