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1、8 8. .7 7抛物线抛物线-2-知识梳理考点自诊1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.距离相等 焦点 准线 注意若定点F在定直线l上,则动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.-3-知识梳理考点自诊2.抛物线的几何性质 (0,0) y=0 x=0 1 -4-知识梳理考点自诊-5-知识梳理考点自诊-6-知识梳理考点自诊-7-知识梳理考点自诊-8-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ()(2)若直线与
2、抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0). ()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. ()(5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是 . ()-9-知识梳理考点自诊2.(2019广东中山一中等七校联考,4)已知抛物线y2=24ax(a0)上的点M(3,y0)到焦点的距离是5,则抛物线的方程为()A.y2=8xB.y2=12xC.y2=16xD.y2=20 xA3. M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C
3、的准线与x轴的交点,则MKO=()A.15B.30C.45D.60C-10-知识梳理考点自诊4.(2019四川双流中学一模,6)过抛物线y2=mx(m0)的焦点作直线交抛物线于P,Q两点,若线段PQ中点的横坐标为3,|PQ|=m,则m=()A.4B.6C.8D.10C-11-知识梳理考点自诊5.(2019山东实验中学质检,14)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=.-12-考点1考点2考点3考点4考点5抛物线的定义及其应用 例1(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,
4、O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为()(2)(多选)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为 ,则点M的坐标为()A.(0,-4)B.(0,-2) C.(0,2)D.(0,4)(3)(2019河南洛阳模拟,8)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4D.3C B A-13-考点1考点2考点3考点4考点5-14-考点1考点2考点3考点4考点5-15-考点1考点2考点3考点4考点5思考如何灵活应用抛
5、物线的定义解决距离问题?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理.2.若P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p0)上一点,由定义易得|PF|=x0+;若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为|AB|=x1+x2+p,x1+x2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.-16-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练1(1)(2019河南豫北豫南联考)如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线准线交于C点,若B是AC的中点,则|AB|=()A
6、.8B.9C.10D.12B C -17-考点1考点2考点3考点4考点5解析:(1)如图,设A,B在准线上的射影分别为D,E,且设AB=BC=m,直线l的倾斜角为.则|BE|=m|cos |,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cos |),-18-考点1考点2考点3考点4考点5-19-考点1考点2考点3考点4考点5抛物线的方程及几何性质例2(1)(2019黑龙江牡丹江模拟,4)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程是()A.y2=x或x2=yB.y2=x或x2=8yC.x2=y或y2=-8x D.y2=x或x2=-8y(2)已知点P(-1,4),过点P恰
7、存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点,则抛物线C的标准方程为()DD-20-考点1考点2考点3考点4考点5-21-考点1考点2考点3考点4考点5思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.-22-考点1考点2考点3考点4考点5C D-23-考点1考点2考点3考点4考点5-24-考点1考点2考点
8、3考点4考点5-25-考点1考点2考点3考点4考点5与抛物线相关的最值问题(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10DA-26-考点1考点2考点3考点4考点5解析:由已知得:C1(3,2 ),F(2,0),记C2的准线为l,如图,过点M作l的垂线,垂足为D,过点C1作l的垂线,垂足为D1,则|MF|+|MN|=|MD|+|MN|MD|+|MC1|-1|C1D1|-1,当且仅当M,C1,D1三点共线,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|M
9、F|+|MN|取得最小值,则点M1的坐标为(1,2 ),|MF|-|MN|MF|-(|MC1|-1)=|MF|-|MC1|+1|FC1|+1,当且仅当M为线段FC1的延长线与抛物线的交点,且点N在线段MC1上时等号成立,此时|MF|-|MN|取得最大值,-27-考点1考点2考点3考点4考点5-28-考点1考点2考点3考点4考点5-29-考点1考点2考点3考点4考点5-30-考点1考点2考点3考点4考点5思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解
10、决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.-31-考点1考点2考点3考点4考点5C C -32-考点1考点2考点3考点4考点5-33-考点1考点2考点3考点4考点5-34-考点1考点2考点3考点4考点5-35-考点1考点2考点3考点4考点5抛物线与其他圆锥曲线的综合 AD-36-考点1考点2考点3考点4考点5-37-考点1考点2考点3考点4考点5-38-考点1考点2考点3考点4考点5思考求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题要注意什么?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转
11、换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.-39-考点1考点2考点3考点4考点5C D-40-考点1考点2考点3考点4考点5-41-考点1考点2考点3考点4考点5-42-考点1考点2考点3考点4考点5直线与抛物线的关系 AB -43-考点1考点2考点3考点4考点5-44-考点1考点2考点3考点4考点5-45-考点1考点2考点3考点4考点5-46-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定
12、义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.-47-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练5(1)(2019四川宜宾二诊,15)已知直线kx-y-k=0(k0)与抛物线y2=4x交于A、B两点,过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点M,O为坐标原点,若SOBMSOBA=12,则k=.(2)(2019湖南湖北八市十二校联考,12)过抛物线x2=2py(p0)上两点A,B分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交于点P(1,-2),则直线AB的方程为()D-48-考
13、点1考点2考点3考点4考点5-49-考点1考点2考点3考点4考点5-50-考点1考点2考点3考点4考点5-51-考点1考点2考点3考点4考点51.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax2与y2=2px(p0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0).2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.
