电子科技大学成都学院《数值分析》课件-第6章 数值积分与微分

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1、讲授：讲授： 用计算机求定积分的方法和估计导数的方用计算机求定积分的方法和估计导数的方法；法；重点论述重点论述: 插值型求积公式、插值型求积公式、Newton-Cotes求积公求积公式、式、Gauss求积公式、复化求积公式、求积公式、复化求积公式、Romberg求积公式及对应的原理、构造、误差求积公式及对应的原理、构造、误差分析等。分析等。第六章数值积分与数值微分第六章数值积分与数值微分电子科技大学成都学院数值分析电子科技大学成都学院数值分析问题：问题：定积分计算有公式定积分计算有公式但不能用公式的定积分要怎样计算呢但不能用公式的定积分要怎样计算呢？怎样把定积分在一定精度下借助计算机计怎样把定

2、积分在一定精度下借助计算机计算出来就是本章研究的内容。算出来就是本章研究的内容。此外，利用函数在若干个点处的函数值求此外，利用函数在若干个点处的函数值求该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。该函数的导数近似值也是本章介绍的内容。本章涉及的方法：本章涉及的方法：Newton-Cotes求积公式、求积公式、Gauss求积公式、求积公式、复化求积公式、复化求积公式、Romberg求积公式等。求积公式等。1 1、问题的描述问题的描述积分离散化处理过程：积分离散化处理过程：1）去掉极限号 3)减少离散化的误差，做得到离散化形式：1）求积公式： 若存在实数成立称为一个数值求积公式。求积系数求积系数求积节点

3、求积节点求积余项求积余项：求积公式与求积节点个数、求积节点 和求积系数有关 ，显然有很多不同的求积公式！2）代数精度：）代数精度：则称该求积公式的代数精度为m。这里结论： 一个求积公式的代数精度越大，则该求积公式越好。确定代数精度的方法：确定代数精度的方法：分别代入余项公式：则对应的代数精度为 m-1。例例6.1确定求积公式确定求积公式的代数精度。的代数精度。解：解：故本题求积公式代数精度为故本题求积公式代数精度为1。例例6.2确定求积公式确定求积公式的参数的参数A，B，C，使它具有尽可能高的代数精，使它具有尽可能高的代数精度，并指出相应的代数精度。度，并指出相应的代数精度。解：要先求出具体的

4、求积公式，再判断代数精度。解：要先求出具体的求积公式，再判断代数精度。故所求的求积公式为故所求的求积公式为为确定其代数精度，再取为确定其代数精度，再取故所求的求积公式具有二阶代数精度。故所求的求积公式具有二阶代数精度。 借助多项式插值函数来构造的求积公式称为借助多项式插值函数来构造的求积公式称为插值型求积公式。插值型求积公式。 一般选用不同的插值公式就可以得到不同的一般选用不同的插值公式就可以得到不同的插值型求积公式。插值型求积公式。1）基本思想基本思想利用被积函数利用被积函数的插值函数代替被积函数来构的插值函数代替被积函数来构造求积公式。造求积公式。6.36.3 插值型求积公式插值型求积公式

5、2 2）构造原理）构造原理考虑函数考虑函数 y=f(x)在在n个求积节点上的函数值个求积节点上的函数值构造的一个构造的一个n-1n-1次次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式若舍去等式右端的积分项，得到插值型求积公式：插值型求积公式：插值型求积公式的求积余项插值型求积公式的求积余项插值型求积公式插值型求积公式的代数精度至少为的代数精度至少为n-1。例例1.1.已知已知 求这求这3点为求积节点在点为求积节点在0,1上的插值型求积公式。上的插值型求积公式。解：法解：法1 ：3个点的个点的3个插值多项式基函数为个插值多项式基函数为代入具体数值计算有代入具体数值计算有:故所求的插值型求

6、积公式为故所求的插值型求积公式为法法2 2：过这：过这3 3个点的个点的2 2次插值多项式为次插值多项式为故所求的插值型求积公式为故所求的插值型求积公式为3 3） 分析分析（1）结论）结论定理定理1：插值型求积公式：插值型求积公式的代数精度至少为的代数精度至少为n-1。推论：插值型求积公式推论：插值型求积公式的求积系数之和为的求积系数之和为b-a，即：，即：（2 2）Newton-Cotes求积公式求积公式可以得到可以得到a,b上的上的n个等距节点个等距节点Cotes系数系数通常称为n点的Newton-Cotes公式。也称为等距节点求积公式。可以事先算出cotes系数，如n=2的两个系数为所以

7、所以2点的点的Newton-Cotes公式为公式为常用的常用的Newton-Cotes公式公式梯形公式梯形公式Simpson公式公式或或抛物线公式抛物线公式（3）n点点Newton-Cotes公式的代数精度公式的代数精度定理定理n点点Newton-Cotes公式的代数精度至少为公式的代数精度至少为n-1,节点个数节点个数n为奇数时，对应的为奇数时，对应的Newton-Cotes求积公式的代数精度至少为求积公式的代数精度至少为n。(4)梯形公式与梯形公式与Simpson公式的余项公式的余项广义积分中值定理广义积分中值定理I、梯形公式余项抛物线公式的余项抛物线公式的余项（4）Newton-Cote

8、s公式的数值稳定性公式的数值稳定性则有n8时，不稳定。时，不稳定。1）基本思想基本思想在插值型求积公式中利用求积节点的选取构在插值型求积公式中利用求积节点的选取构造具有最高代数精度的求积公式。造具有最高代数精度的求积公式。问题：问题： n点的插值型求积公式的代数精度至少点的插值型求积公式的代数精度至少是是n-1,那么是否还能提高其代数精度呢？那么是否还能提高其代数精度呢？若能，其代数精度最大能是多少？若能，其代数精度最大能是多少？6.46.4 GaussGauss求积公式求积公式2 2）构造原理）构造原理考虑一般的求积公式考虑一般的求积公式这里这里(x)是权函数。权函数是权函数。权函数(x)要

9、非负要非负权函数权函数(x)=1 1时就是前面的求积公式。时就是前面的求积公式。定理定理:求积公式求积公式(*)的代数精度最大为的代数精度最大为2n-1。证明的任意一组求积节点。代入求积公式，有余项由定义得求积公式的代数精度不大于2n-1.?为证明本定理，设为证明本定理，设f(x)f(x)是任意一个是任意一个2n-12n-1次多项次多项式，由多项式除法有式，由多项式除法有式中q(x),r(x)都是次数小于n 的多项式因为求积公式因为求积公式(*)是具有是具有n个节点的插值型求个节点的插值型求积公式，故其代数精度至少为积公式，故其代数精度至少为n-1，故有，故有可以用q(x)的这种任意性，选择求

10、积节点 正交多项式理论可知上面的节点是存在唯一的，它们就是在a,b上关于权的n次正交多项式的零点。至此得出定理结论。结论与概念结论与概念:定理：定理：n点插值型求积公式的代数精度至少点插值型求积公式的代数精度至少是是n-1，至多为，至多为2n-1。定义定义:若若n点的求积公式具有点的求积公式具有2n-1次代数精次代数精度，则称该求积公式为度，则称该求积公式为Gauss型求积公式型求积公式，对，对应的求积节点应的求积节点和求积系数和求积系数分别称为分别称为Gauss点点和和Gauss系数系数。Gauss型求积公式的求积余项用如下展开获得型求积公式的求积余项用如下展开获得例：确定参数求积公式求积公

11、式具有最高代数精度。方法1解：因为n=2的最高代数精度为3，故所求为：解：方法解：方法2 2，用正交多项式方法，用正交多项式方法由正交性，有注意到求积公式具有3次代数精度，求积公式它有3次代数精度，是Gauss求积公式.3)Gauss型求积公式的数值稳定性型求积公式的数值稳定性是关于是关于n个个Gauss点的插值基函数点的插值基函数结论：结论：Gauss系数都是大于零的数。系数都是大于零的数。类似类似Newton-Cotes稳定性处理方法，有舍入稳定性处理方法，有舍入误差误差所以所以Gauss型求积公式是稳定的。型求积公式是稳定的。Gauss公式中，不同的权函数公式中，不同的权函数和不同和不同

12、积分区间积分区间，对应不同形式的，对应不同形式的Gauss公式。公式。常用的常用的Gauss公式：公式：1、Gauss-Legendre求积公式求积公式Legendre正交多项式正交多项式2 2、Gauss-Chebyshev求积公式求积公式Chebyshev正交多项式正交多项式3、Gauss-Laguerre求积公式求积公式Laguerre正交多项式正交多项式4 4、Gauss-Hermite求积公式求积公式Hermite正交多项式正交多项式1）基本思想基本思想将求积区间将求积区间a,b分成若干个小区间，然分成若干个小区间，然后在每个小区间上采用数值稳定的后在每个小区间上采用数值稳定的New

13、ton-Cotes公式求小区间上的定积分，最后把所公式求小区间上的定积分，最后把所有小区间上的计算结果相加起来作为原定积有小区间上的计算结果相加起来作为原定积分的近似值。分的近似值。常用的复化求积公式有常用的复化求积公式有复化梯形公式复化梯形公式和和复化复化Simpson公式公式6.5 6.5 复化复化求积公式求积公式2 2）构造原理）构造原理（1）复化梯形公）复化梯形公式式在每个小区间在每个小区间上用梯形公式，有上用梯形公式，有复化梯形公式复化梯形公式（2 2）复化）复化SimpsonSimpson公式公式在每个小区间 上用抛物线公式，有复化复化SimpsonSimpson公式公式3 3）分

14、析）分析(1(1）复化梯形公式的余项）复化梯形公式的余项复化梯形余项公式复化梯形余项公式*复化梯形公式误差估计：复化梯形公式误差估计：给定给定,上面公式给出了满足精度要求的上面公式给出了满足精度要求的复化求积公式的复化求积公式的n.(2(2）复化）复化SimpsonSimpson公式的余项公式的余项复化复化Simpson余项公式余项公式*复化复化SimpsonSimpson公式误差估计：公式误差估计：给定给定,上面公式给出了满足精度要求的上面公式给出了满足精度要求的复化复化simpson公式的公式的n.例例:分别用复化梯形公式和复化分别用复化梯形公式和复化Simpson公式公式计算定积分计算定

15、积分计算结果要求误差小于计算结果要求误差小于=10-4解：首先要确定复化求积公式的解：首先要确定复化求积公式的n值。值。1）确定复化梯形公式的）确定复化梯形公式的n值值复化梯形公式为复化梯形公式为1）确定复化）确定复化Simpson公式的公式的n值值复化复化Simpson公式为公式为本题准确解为本题准确解为Romberg求积方法是对复化梯形公式求积方法是对复化梯形公式用加速技术得到的一种求积方法，它也称用加速技术得到的一种求积方法，它也称为为逐次分半加速收敛法逐次分半加速收敛法。1）基本思想基本思想将将Richardson外推算法应用于复化梯外推算法应用于复化梯形公式中，用产生的加速数列来求定

16、积分值。形公式中，用产生的加速数列来求定积分值。6.6 6.6 Romberg 求积方法求积方法2 2）构造原理）构造原理定理定理证明证明做整理整理称用如上做加速的方法为称用如上做加速的方法为Richardson外推法外推法。显然这种外推可以不断做下去以获得逼近显然这种外推可以不断做下去以获得逼近更快的函数，一般有更快的函数，一般有构造：构造：T形值形值利用利用Richardson外推法做加速外推法做加速再做一次再做一次Richardson加速，有加速，有一般，有经一般，有经Richardson加速求定积分的序列为加速求定积分的序列为注意到注意到类似地可得类似地可得梯形序列梯形序列：Simpson序列序列：Cotes序列序列：Romberg序列序列：Romberg求积方法的计算过程：求积方法的计算过程：根据函数在若干个点处的函数值去求根据函数在若干个点处的函数值去求该函数的导数近似值称为数值微分，所求该函数的导数近似值称为数值微分，所求导数的近似值常称为数值导数。导数的近似值常称为数值导数。1）基本思想基本思想用来自数据的插值函数获得该函数的用来自数据的插值函数获得该函数的导数。导数。