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1、1问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容21 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）3实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）方法方法:分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限.42 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义5记为记为6可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理23 3、存在定理、存在
2、定理74 4、定积分的性质、定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质38性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质49性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式105 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）11定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式126 6、定积分的计算法、定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式13、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分14(2)
3、无界函数的广义积分无界函数的广义积分15二、与定积分概念有关的问题的解法二、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题与变限积分有关的问题16三、有关定积分计算和证明的方法三、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法有关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确下列作法是否正确?17四、
4、典型例题四、典型例题(1)(1)例例1. 求求例例2. 求求例例3.估计下列积分值估计下列积分值例例4. 证明证明例例5.设设在在上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数， 试证试证都有不等式都有不等式明对于任何明对于任何18例例1. 求求解解: 因为因为时时,所以所以利用夹逼准则得利用夹逼准则得19因为因为 依赖于依赖于且且1) 思考例思考例1下列做法对吗下列做法对吗 ?利用积分中值定理利用积分中值定理,原式原式不对不对 !说明说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 如如, P265 题题420解：将数列适当放大和缩小，以简化成
5、积分和：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知已知利用利用夹逼准则夹逼准则可知可知(考研考研98 ) 例例2. 求求21思考思考: :提示提示: :由上题由上题故故22练习练习: 1.求极限求极限解：解：原式原式2. 求极限求极限提示提示：原式原式左边左边= 右边右边23例例3.估计下列积分值估计下列积分值解解: 因为因为即即24例例4. 证明证明证证: 令令则则令令得得故故25例例5.设设在在上是单调递减的连续函数上是单调递减的连续函数， 试证试证都有不等式都有不等式证明证明：显然显然时结论成立时结论成立.(用积分中值定理用积分中值定理)当当时时,故所给不等式成立故所给不等式成立 .
6、明明:对于任何对于任何26四、典型例题四、典型例题(2)(2)例例6 6例例7 7例例8 8例例9 9例例1010例例11. 选择一个常数选择一个常数 c , 使使例例1212例例131327例例6 6解解28例例7 7解解29例例8 8解解30例例9 9解解令令31例例1010解解32例例11. 选择一个常数选择一个常数 c , 使使解解: 令令则则因为被积函数为奇函数因为被积函数为奇函数 , 故选择故选择 c 使使即即可使原式为可使原式为 0 .33例例1212解解是偶函数是偶函数,34例例13. 设设解解: 35四、典型例题四、典型例题(3)(3)例例1414例例1515例例161636
7、例例1414证证37例例1515证证作辅助函数作辅助函数3839例例1616解解 (1)40(2)41四、典型例题四、典型例题(4)(4)且由方程且由方程确定确定 y 是是 x 的函数的函数 , 求求例例17. .例例18. .求可微函数求可微函数 f (x) 使满足使满足例例19. . 求多项式求多项式 f (x) 使它满足方程使它满足方程例例20. . 证明恒等式证明恒等式42例例17.解解：且由方程且由方程确定确定 y 是是 x 的函数的函数 , 求求方程两端对方程两端对 x 求导求导, 得得令令 x = 1, 得得再对再对 y 求导求导, 得得故故43例例18.求可微函数求可微函数 f
8、 (x) 使满足使满足解解: 等式两边对等式两边对 x 求导求导, 得得不妨设不妨设 f (x)0,则则44注意注意 f (0) = 0, , 得得45例例19. 求多项式求多项式 f (x) 使它满足方程使它满足方程解解: 令令则则代入代入原方程得原方程得两边求导两边求导:可见可见 f (x) 应为二次多项式应为二次多项式 ,设设代入代入 式比较同次幂系数式比较同次幂系数 , 得得故故再求导再求导:46例例20. 证明恒等式证明恒等式证证: 令令则则因此因此又又故所证等式成立故所证等式成立 .47例例21.试证试证使使分析分析: 要证要证即即故作辅助函数故作辅助函数至少存在一点至少存在一点4
9、8证明证明: 令令在在上连续上连续,在在至少至少使使即即因在因在上上连续且不为连续且不为0 , 从而不变号从而不变号,因此因此故所证等式成立故所证等式成立 .故由罗尔定理知故由罗尔定理知 ,存在一点存在一点49思考思考: 本题能否用柯西中值定理证明本题能否用柯西中值定理证明 ? ?如果能如果能, 怎样设辅助函数怎样设辅助函数?要证要证: 提示提示: 设辅助函数设辅助函数 50例例22. .设函数设函数 f (x) 在在a, b 上连续上连续,在在(a, b) 内可导内可导, 且且 (1) 在在(a, b) 内内 f (x) 0 ; (2) 在在(a, b) 内存在点内存在点 , 使使 (3)
10、在在(a, b) 内存在与内存在与 相异的点相异的点 , 使使 (03考研考研) 51证证: (1) 由由 f (x)在在a, b上连续上连续, 知知 f (a) = 0. 所以所以f (x) 在在(a, b)内单调增内单调增, 因此因此 (2) 设设满足柯西中值定理条件满足柯西中值定理条件, 于是存在于是存在 52即即 (3) 因因 在在a, 上用拉格朗日中值定理上用拉格朗日中值定理代入代入(2)中结论得中结论得因此得因此得 5323.(0123.(01，)设设在在 上连续，在上连续，在 可导，可导，且满足且满足证明：存在证明：存在 ，使得，使得24.(0124.(01，) 设设则极限则极限25.(0425.(04，)设设则则5426.设函数设函数 在区间上在区间上 的图形为的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（ ）0231-2-110231-2-110231-110231-2-11 . .551.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ）56测测 验验 题题5758596061626364测验题答案测验题答案65
