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1、二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质复习目标：复习目标： 1 1、复习掌握二次函数的图象与性质。、复习掌握二次函数的图象与性质。 2 2、熟练求二次函数的解析式。、熟练求二次函数的解析式。 3 3、掌握、掌握二次函数与一元二次方程及一元二次二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系。不等式的关系。课前热身课前热身（学生独立练习，分小组批改）（学生独立练习，分小组批改）1、二次函数解析式的三种表示方法：、二次函数解析式的三种表示方法：（1 1）一般式：）一般式：_（2 2）交点式：）交点式：_（3 3）顶点式：）顶点式：_ 2、填表：、填表： 课前热身课前热身（学生独立练习，分小组批改）（
2、学生独立练习，分小组批改） 3、二次函数、二次函数y=ax2+bx+c，当，当a0时，在对时，在对称轴右侧，称轴右侧，y随随x的增大而的增大而 ，在对称轴左侧，在对称轴左侧，y随随x的增大而的增大而 图象有最图象有最 点，此时函数有点，此时函数有最最 值值 ；当；当a0时，在对称轴右侧，时，在对称轴右侧，y随随x的增大而的增大而 , 在对称轴左侧，在对称轴左侧，y随随x的增大的增大而而 图象有最图象有最 点，此时函数有最点，此时函数有最 值值. 最最值值二次函数二次函数应用应用性质性质图象图象开开口口方方向向一一般般式式顶顶点点式式交交点点式式顶顶点点坐坐标标对对称称轴轴增增减减性性二次函数二
3、次函数与一元二次与一元二次方程的联系方程的联系 解析式解析式 抛物线与抛物线与x轴的交轴的交点的横坐标是一点的横坐标是一元二次方程的根元二次方程的根知识梳理知识梳理平移平移如何确定如何确定规律典型题例典型题例模块一模块一 抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性增减性1、函数、函数y=ax1与与y=ax2bx1（a0）的图）的图象可能是（象可能是（ ） A B C Dc典型题例典型题例2、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试的图象如图所示，试判断下面各式的符号：判断下面各式的符号： (1)abc _ 0 (2)b2-4ac_0
4、(3)2a+b_0 (4)a+b+c_0 此题主要考查学生对二次函数的图此题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：象、性质的掌握情况：b b2 2-4ac-4ac的符号的符号看抛物线与看抛物线与x x轴的交点情况；轴的交点情况；2a+b2a+b看看对称轴的位置；而对称轴的位置；而a+b+ca+b+c的符号要看的符号要看x=1x=1时时y y的值。的值。 规律小结a的符号的符号看抛物线的开口：看抛物线的开口： 开口向上，开口向上，a0;开口向下开口向下:a看抛物线与看抛物线与Y轴的交点：轴的交点： (1)交交Y轴的正半轴，轴的正半轴，c0; (2)交交Y轴的负半轴，轴的负半轴，c看抛物线
5、的对称轴：看抛物线的对称轴： ;（再结合（再结合a的符号，就可以判定的符号，就可以判定b的符号）的符号）(1)若对称轴在若对称轴在y轴的右侧，则轴的右侧，则 （右异）（右异）; (2)若对称轴在若对称轴在y轴的左侧，则轴的左侧，则 （左同）（左同）; (3)若对称轴在若对称轴在Y轴，则轴，则 。规律小结 b2-4ac的符号的符号看看抛物线抛物线与与x轴的交点：轴的交点： 1)若若抛物线抛物线与与x轴有两个不同的交点：则轴有两个不同的交点：则b2-4ac0; 2)若若抛物线抛物线与与x轴只有一个的交点：则轴只有一个的交点：则b2-4ac=0; 3)若若抛物线抛物线与与x轴没有交点：则轴没有交点：
6、则b2-4ac看看x=1时，在图象上所对应的时，在图象上所对应的Y值；值； a-b+c的符号的符号看看x=-1时，在图象上所对应的时，在图象上所对应的Y值；值；典型题例典型题例模块二模块二 二次函数的平移二次函数的平移3、要得到二次函数、要得到二次函数 的图象的图象,需将需将 的图象（的图象（ ）A向左平移向左平移2个单位，再向下平移个单位，再向下平移2个单位个单位B向右平移向右平移2个单位，再向上平移个单位，再向上平移2个单位个单位C向左平移向左平移1个单位，再向上平移个单位，再向上平移1个单位个单位D向右平移向右平移1个单位，再向下平移个单位，再向下平移1个单位个单位 D注意：抛物线的平移
7、，一般应注意：抛物线的平移，一般应抓住抓住“顶点顶点”这个关键点。这个关键点。上上加下减，左加右减。加下减，左加右减。典型题例典型题例模块三模块三 二次函数的解析式二次函数的解析式4、已知二次函数的图象过点（、已知二次函数的图象过点（-2,0）（）（6,0），），最小值是最小值是-32，求二次函数解析式。，求二次函数解析式。已知抛物线经过任意三个点时，则可选用设一般式，已知抛物线经过任意三个点时，则可选用设一般式，y=ax2+ bx+c（a 0），确定系数），确定系数a、b、c的值即可。的值即可。已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，则可选用顶点式已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时，则可
8、选用顶点式y=a（x-h）2+k （a 0），确定），确定a、h、k的值。的值。已知抛物线与已知抛物线与x轴的交点，或在轴的交点，或在x轴上截得的线段长时，则可选用设轴上截得的线段长时，则可选用设交点式交点式y=a（xx1）（）（xx2 ）（）（a 0）确定）确定a、x1、x2的值。的值。 y=2x2-8x-24典型题例典型题例模块四模块四 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式二次函数与一元二次方程及一元二次不等式A (x1,0) 0 B(x2,0) A (x1,0) 0 B(x2,0) XXYY典型题例典型题例模块四模块四 二次函数与一元二次方程及一元二次不等式二次函数与一元二次方程及一元
9、二次不等式5、已知抛物线、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k (1) 求证：此抛物线与求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；轴总有两个不同的交点；（2）设）设A（x1，0）和）和B（x2，0）是此抛物线与）是此抛物线与x轴的两个轴的两个交点，且满足交点，且满足x12+x22= -2k2+2k+1， 求抛物线的解析式。求抛物线的解析式。 此抛物线上是否存在一点此抛物线上是否存在一点P，使，使 PAB的面积等于的面积等于3，若，若存在，请求出点存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。的坐标；若不存在，请说明理由。典型题例典型题例解解: :（1 1）=(2k+1)=(2k+1)2
10、2-4(-k-4(-k2 2+k)+k) = 8k = 8k2 2+10+10 此抛物线与此抛物线与x x轴总有两个不同的交点轴总有两个不同的交点. . （2 2）由题意得由题意得 x x1 1+x+x2 2=-=-（2k+12k+1） x x1 1x x2 2=-k=-k2 2+k+k x x1 12 2+x+x2 22 2= -2k= -2k2 2+2k+1+2k+1 （ x x1 1+ x+ x2 2 ）2 2-2x-2x1 1x x2 2=-2k=-2k2 2+2k+1+2k+1 即即- -（2k+12k+1）2 2-2-2（ -k-k2 2+k +k ）=-2k=-2k2 2+2k+
11、1+2k+1 8k 8k2 2=0 =0 k k1 1=k=k2 2=0 y=x=0 y=x2 2+x+x 假设存在点假设存在点p p（x,yx,y）使）使PABPAB的面积等于的面积等于3 3。 令令y=0,y=0,则则x x2 2+x=0 +x=0 x x1 1=-1 x=-1 x2 2=0 =0 点点A A（-1,0-1,0）点）点B B（0,00,0） s sABP= ABABP= ABy y=3 =3 解得解得y=6 y=6 当当y=6y=6时，时，x x2 2+x-6=0 x+x-6=0 x1 1=-3 x=-3 x2 2=2=2 当当y=-6y=-6时时 x x2 2+x+6=0
12、 0,+x+6=0 0,舍去。舍去。 点点p p（-3,6-3,6）（）（2,62,6）拓展提升拓展提升: :二次函数与其它知识综合二次函数与其它知识综合6 6、如下图，二次函数的图象与、如下图，二次函数的图象与x x轴相交于轴相交于A A、B B两点，与两点，与y y轴轴相交于点相交于点C(0,3)C(0,3)，C C、D D是二次函数图象上的一对对称点，是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点一次函数图象过点B B、D D，（1 1）求）求D D点的坐标点的坐标（2 2）求一次函数的表达式）求一次函数的表达式（3 3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的）根据图象写出使一次函数值
13、大于二次函数值的x x的取值的取值范围范围D CA B-3 0 1 拓展提升拓展提升: :二次函数与其它知识综合二次函数与其它知识综合解解（1）对称轴）对称轴x= =-1点点c(0,3) ,c(0,3) ,C C、D D是二次函数图象上的一对对称点是二次函数图象上的一对对称点点点D(-2,3)D(-2,3)（2）设直线）设直线BD的解析式的解析式y=kx+b K+b=0 -2k+b=3 解得解得k=-1 b=1 y=-x+1（3）由图象知当）由图象知当x1时时一次函数值大于二次函数一次函数值大于二次函数值。值。D CA B-3 0 1 最最值值二次函数二次函数应用应用性质性质图象图象开开口口方
14、方向向a 0,a 0,开口向上开口向上a0, a0, 一一般般式式顶顶点点式式交交点点式式y=ax2+bx+c为常数为常数a0)顶顶点点坐坐标标对对称称轴轴增增减减性性二次函数二次函数 与一元二次与一元二次方程的联系方程的联系 解析式解析式 （ ）直线x= a 0,a 0,有最小值有最小值抛物线与抛物线与x轴的交点轴的交点的横坐标是一元二次的横坐标是一元二次方程的根方程的根a0，有最大值，有最大值无交点无实根 0 0有一交点（ ,0）有两个等根x1 x2=0=0有两个交点（x1,0）( x2,0 ） 有两个不等根x1 x20 0课堂小结课堂小结平移平移左加右减同步检测同步检测1、如图为二次函数
15、、如图为二次函数 的图象，给出下列说法的图象，给出下列说法 方程方程 的根为的根为 ； 当当 时，时，y随随x值的增大而增大；值的增大而增大；当时，当时， 其中，正确的说法有其中，正确的说法有 _（请写出所有正确说（请写出所有正确说法的序号）法的序号）同步检测同步检测2、二二次次函函数数y = ax2 + bx + c的的部部分分对对应应值值如如下下表表 x x3 32 2-1-10 01 12 23 34 45 5y y12125 50 03 34 43 30 05 51212利用二次函数的利用二次函数的图图象可知，当函数象可知，当函数值值y y0 0时时，x x的取的取值值范范围围是（是（
16、 ）A Ax x0 0或或x x2 B2 B0 0 x2Cx1或或x3 D1x3来源:学科网ZXXKD同步检测同步检测3已知抛物线的对称轴是已知抛物线的对称轴是x=1，它与，它与x轴交点的距离轴交点的距离等于等于4，它与，它与y轴交于（轴交于（0，6），则它的表达式为），则它的表达式为_ 4、将抛物线向右平移、将抛物线向右平移2个单位。再向上平移个单位。再向上平移3个单位后，个单位后，变为变为 ，则原抛物线为，则原抛物线为Y=2x2+4x-6同步检测同步检测5、二次函数、二次函数 的图像与交的图像与交x轴于轴于A、B（A在左在左B在右）两点，交在右）两点，交y轴于点轴于点C，则，则 ABC的面积是的面积是 ，若，若P是抛物线的顶点是抛物线的顶点,求四求四边形边形APBC的面积的面积 。 OABCXy34
