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1、垂径定理课件垂径定理课件PPT演示演示(ynsh)文稿文稿1页，共30页，星期一。垂直于弦的直径垂直于弦的直径(zhjng) （垂径定理）（垂径定理）2页，共30页，星期一。 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复复(chngf)几次，你发现了什么？由此你能得几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？到什么结论？圆是轴对称图形圆是轴对称图形圆是轴对称图形圆是轴对称图形(txng)(txng)(txng)(txng)，判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）X任何一条直径所在的直线都是对称轴。任何一条直径所在的直
2、线都是对称轴。任何一条直径所在的直线都是对称轴。任何一条直径所在的直线都是对称轴。3页，共30页，星期一。如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等）你能发现图中有哪些相等(xingdng)的线段和弧？为什么？的线段和弧？为什么？OABCDE思考思考(sko)（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的直线所在的直线是它的对称轴是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，4页，共30页，星
3、期一。CAEBO.D总结总结(zngji)：垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径(zhjng)平分弦，平分弦，并且平分弦对的两条弧。并且平分弦对的两条弧。CD为为 O的直径的直径CDAB 条件条件结论结论AE=BEAE=BEAC=BCAC=BCAD=BDAD=BD5页，共30页，星期一。应用垂径定理的书写(shxi)步骤l定理定理(dngl) 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.OABCDMCDAB, CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD =BD.6页，共30页，星期一。引申引申(ynshn)定理定理l定理定理(d
4、ngl)中的径可以是直径、半径、弦心距等中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理(dngl)的变式：的变式：l一条直线具有：一条直线具有： 平分弦平分弦 经过圆心经过圆心垂直于弦垂直于弦可推得可推得 平分弦所对的劣（优平分弦所对的劣（优）弧）弧7页，共30页，星期一。E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习(linx)1O OB BA AE ED在下列图形，符合在下列图形，符合(fh)垂径定理的
5、条件吗？垂径定理的条件吗？O O8页，共30页，星期一。9页，共30页，星期一。判断判断(pndun)下列图形，能否使用垂径定理？下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理注意：定理(dngl)中的两个中的两个条件（直径，垂直于弦）条件（直径，垂直于弦）缺一不可！缺一不可！ 10页，共30页，星期一。ABCDEABDC条件条件CDCD为直径为直径结论结论AC=BCAD=BDCDABCDABCDABCDABAE=BE平分平分(pngfn)弦弦 的直径垂直于弦，并且的直径垂直于弦，并且平分平分(pngfn)弦所对的两条弧弦所对的两条弧（不是不是(b shi)直径直径）垂径定理的推论垂径定理的推论1:1
6、:CDABCDAB吗？吗？(E)(E)11页，共30页，星期一。“知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意: :当具备当具备(jbi)(jbi)了了(1)(3)(1)(3)时时, ,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制. .12页，共30页，星期一。n你可以你可以(ky)写出相应的命题写出相应的命题吗吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理(dngl)的推论 l如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要
7、具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.13页，共30页，星期一。垂径定理(dngl)及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径垂直于弦的直径(zhjng)平分弦平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条并且平分弦所对的另一条弧弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且
8、平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦并且平分弦和所对的另一条弧和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦并且平分弦所对的另一条弧所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.14页，共30页，星期一。一、判断是非：一、判断是非：（1）平分）平分(pngfn)弦的直径，平分弦的直径，平分(pngfn)这条弦所对的这条弦所对的弧。
9、弧。（2）平分弦的直线，必定）平分弦的直线，必定(bdng)过圆过圆心。心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)15页，共30页，星期一。(4)弦的垂直平分线一定弦的垂直平分线一定(ydng)是圆的直径。是圆的直径。（5）平分）平分(pngfn)弧的直线，平分弧的直线，平分(pngfn)这条弧所对的这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的
10、直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦16页，共30页，星期一。弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离圆心与垂足之间的距离(jl)叫做弦心距叫做弦心距如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OCAB圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，则d，r，a之间满足(mnz)什么样的关系呢？17页，共30页，星期一。 8cm1 1半径半径(bnjng)(bnjng)为为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2O O的直径为的直径为10cm10cm，圆心，圆心O
11、 O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 练习练习(linx) 1A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E垂径定理的应用垂径定理的应用18页，共30页，星期一。1.1.如图如图, ,在在O O中中, ,弦弦ABAB的长为的长为8cm,8cm,圆心到圆心到ABAB的距的距离离(jl)(jl)为为3cm,3cm,则则O O的半径为的半径为 . . 练习练习(linx) 2：ABOC5cm342.2.弓形
12、的弦长弓形的弦长ABAB为为24cm24cm，弓形的高，弓形的高CDCD为为8cm8cm，则这弓形所在圆的半径为则这弓形所在圆的半径为. . 13cm(1)(1)题题(2)(2)题题12819页，共30页，星期一。方法方法(fngf)(fngf)归归纳纳: : 解决有关弦的问题解决有关弦的问题(wnt)时，经常时，经常连接半径连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应等辅助线，为应用垂径定理创造条件。用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABO20页，共30页，星期一。l3、如图，、如图，P为为O
13、的弦的弦BA延长线上一点延长线上一点(y din)，PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。关于弦的问题，常常需要关于弦的问题，常常需要过圆心作弦心距，这是一条过圆心作弦心距，这是一条非常重要的辅助线。非常重要的辅助线。弦心距、半径弦心距、半径(bnjng)、半弦、半弦长构成直角三角形，便将问长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。题转化为直角三角形的问题。MAPBOA21页，共30页，星期一。解：如图，设半径解：如图，设半径(bnjng)为为R，在在tAODtAOD中，中，由勾股定理由勾股定理(u dn l)，得，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵
14、州桥的主桥拱半径约为27.9m.D37.47.2赵州桥主桥拱的跨度赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？AB=37.4,CD=7.2R R18.7R-7.2R-7.2再逛赵州石拱桥再逛赵州石拱桥22页，共30页，星期一。1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的的距离距离(jl)为为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习(linx)(linx)解：解：答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动
15、 三三在RtAOE中23页，共30页，星期一。变式：变式：图中两圆为同心圆图中两圆为同心圆变式变式3：隐去（变式：隐去（变式1）中的大圆，得）中的大圆，得右图连接右图连接OA，OB，设，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？变式变式4：隐去（变式：隐去（变式1）中的大）中的大圆，得右图，连接圆，得右图，连接OC，OD，设，设OC=OD，AC、BD有什么关系有什么关系？为什么？为什么？变式变式1 1：ACAC与与BDBD有什么关系？有什么关系？变式变式2 2：ACBD依然成立吗依然成立吗 24页，共30页，星期一。2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直为互相
16、垂直(chuzh)且相等的两且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是是正方形正方形DOABCE证明证明(zhngmng)：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. OEAC ODAB25页，共30页，星期一。已知已知P为为 O内一点内一点(y din),且且OP=2cm,如果如果 O的的半径是半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等于点的最短的弦等于_27页，共30页，星期一。小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆的轴对称性、圆的轴对称性、垂径定理(dngl)及其推论的图式28页，共30页，星期一。E小结小结(xioji)(xioji): : 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或解决有关弦的问题，经常是
