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1、第四节函数的连续性及极限的应用函数在一点连续的定义：如果函数f(x)在点x=X0处有定义，limf(x)JX0存在，且limf(x)=f(xo),那么函数f(x)在点x=xo处连续.xxo2.函数f(x)在点x=xo处连续必须满足下面三个条件.(1) 函数f(x)在点x=xo处有定义；limf(x)存在；xxolimf(x)=f(x0),即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函xxo数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点xo处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义.3. 函数连续性的运算： 若f(x),g(x)都在点xo处连续，贝f(x)士g
2、(x),f(x)?g(x),f(x)(g(x)乒0)也在点xo处连续。g(x)若u(x)都在点xo处连续，且f(u)在uo=u(xo)处连续，则复合函数fu(x)在点xo处连续。4. 函数f(x)在(a,b)内连续的定义：如果函数f(x)在某一开区间(a,b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a,b)内连续，或f(x)是开区间(a,b)内的连续函数.f(x)在开区间(a,b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是a,b,若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a),即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a),f(x)在(a,b)内的每一点处连续，在a
3、点处右极限存在等于f(a),在b点处左极限存在等于f(b).5. 函数f(x)在a,b上连续的定义：如果f(x)在开区间(a,b)内连续，在左端点x=a处有limf(x)=f(a),xa在右端点x=b处有lim_f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间a,b上连b续，或f(x)是闭区间a,b上的连续函数.6. 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间a,b上的连续函数，那么f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值一特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=xo处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”二、问题讨论点击双基f(x)在x=xo处连续是f(x)在x=xo
4、处有定义的条件.A. 充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析：f(x)在x=xo处有定义不一定连续.答案：A7tcosf(x)=的不连续点为TtCOSXA.X=0x=(k=0,1,2,-)2k+1B. x=0和x=2kx(k=0,-)x=0和x=(k=0,1,2,)2k+1解析：由cos-=0,#-=k7t+-(kEZ)x=W_(kN).xx22k+1又x=0也不是连续点，故选D答案：D 3.下列图象表示的函数在x=Xo处连续的是TA.C.XOXxo答案：A-；g(x)=sinx;fX=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是4.四个函数：f(x)(X)=|x|;
5、f(x).(把你认为正确的代号都填上)Xo例1:讨论下列函数在给定点或区间上的连续性-1ex-1(1)f(x)=-ex1.一1(x=0)(2)f(x)2x22(x0-2，j)=1,.limex1x,0-f(x)=!im0f(x)，f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在x=0处不连续。(2)limf(x)=lim(x2+2)=3,limJ(x)=limJx+4)=3,f(1)=3, x一xn一xx-jlimf(x)=3=f(-1),因此函数f(x)在x=-1处连续。【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。例2.(优化P208例1)1(x0)(1对论函数f
6、(x)=!。(x=0)，在点x=0处的连续性-1(x0-故当a=1时，limf(x)=f(0),x_0即说明函数f(x)在x=0处连续，而在x乒0时,f(x)显然连续,于是我们可判断当a=1时，f(x)在(一00,+8)内是连续的.评述：分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而断定连续性.例4.如图，在大沙漠上进行勘测工作时，先选定一点作为坐标原点，然后采用如下方法:从原点出发，在x轴上向正方向前进a(a0冷单位后，向左转900，前进ar(0r1)个单位，再向左转900，以前进ar2个单位,此连续下去(1)若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系且可以断定此小分队的行
7、动与原定方案相同，则大本营在何处寻找小分队？(2)若其中的r为变量，且0r1,则行动的最终目的地在怎样的一条直线上？备用：例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：2x5x+1=0是否存在实数根。解：设f(x)=2x，5x+1,贝Uf(x)在R上连续，又f(0)=1,f(-3)=-380,因此在3,0内必存在点x0使得f(x0)=0，所以x0是方程2x3-5x+1=0的一个实数根，因此方程2x3-5x+1=0有实根。【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数y=f(x)的图象是否与x轴有交点。五、小结函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：I)函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；n)函数f(x)在x=x0处有极限；m)函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。1. 如果函数f(x)在闭区间a,b上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间a,b上有最大值和最小值。六、课后作业:
