例谈初中数学常见的几种“将军饮马”模型应用问题 摘要近年来，饮马问题逐渐成为中考热门考点之一，并作为压轴题出现在中考数学试卷最后一题的位置上想要解决将军饮马问题需要学生具有灵活的思维和较强的综合知识，从本质来看将军饮马问题所要解决的是确定动点和直线的位置，并且使得线段和最小，但是将军饮马问题的考察形式十分丰富，可以与很多问题相结合本文旨在通过化折为直的思想，利用轴对称求线段的极值问题关键词：将军饮马；化折为直；轴对称1. 研究背景将军饮马问题让很多学生既兴奋又头疼，兴奋的是这个问题源于古罗马，是一个很有趣的历史问题，当然在我国古代《古从军行》当中也有这一问题的描述头疼的地方在于，很多学生不能理解这一问题的本质，只要问题稍微进行变化就难以理解将军饮马问题在古代是影响战争效率的一个重要问题，放在现在是考试的重点知识，因此下面就对本例题的基本形式进行阐述图1 饮马问题示意图关于将军饮马的典故，在这里就不再重复，图一展示的就是将军饮马的数学问题，即在河流当中寻找一个动点，让其到A和B的距离最小面对这一问题很多学生都能够想到对称知识，能够找到河流当中的点。
如图2所示将L当作河流，A点与B点是在河流L同侧，想要找到最短的点，只要利用对称思想，在河流对侧寻找一点即可，做A点关于直线L的对称点A’,连接A’与B点与直线L交于P点此时连接AP与BP，则AP+BP的线段和最小这一模型是该类“将军饮马”变型题的基础，下面就这一问题在考试当中的变化形式进行一些探讨图2 饮马问题几何模型2. 实例研究2.1饮马问题在平行线中的应用如图3所示，已知直线 ∥ ， 、 之间的距离为8，点P到直线 的距离为6，点Q到直线 的距离为4，PQ = ，在直线 上有一动点 A，直线 上有一动点 B，满足 AB ⊥ ，并且 PA 、AB 、BQ 三条线段的和最小，问当三条线段和最小时 PA与BQ 之和为多少 ．图3 图4解题思路：如图4所示，过直线L做P的垂直线 于A’，在直线 处交于B’，在PB’上选取线段PP’等于两条直线间的距离8，连接P’点和Q点使其交直线 于点B，做 交直线 于点A，过Q点做 于点Q’，则有上述可得线段P’B’的长度等于线段PA’的长度等于6，线段B’Q’的长度等于4由图可知四边形ABP’P是平行四边形，故线段PA的长度等于线段P’B的长度。
在这种情况下PA、PB、PQ的线段和等于8+PA+BQ的线段和等于8+P’Q最小有两点之间直线最短可知，在 中 ,故 ,则推理：本题中由平行线引出，虽然题目不难，但是考察的知识较为丰富在本题中，可将题化为两个定点，一个动点，定点之间进行连线，让动点处于连线上，从而将动点的位置进行固定2.2饮马问题在三角形中的应用如图4，在 中，假设AC的长度为6米，BC的长度为8米，AD是顶角的平分线，E和F是两个移动点，如何求出CE和EF之和的最小值图4 图5解题思路：如图5所示，过点C作CG AD交AB于点G，由题意知AD平分 交BC于D点可知线段AD垂直平分CG，由图可知CE=GE，过G点CF AC于点F，交线段AD于点E，此时CE+EF=GE+EF=GF最小在 中，由题意AC=6,BC=8，则由勾股定理可知AB=10由题意可知 ,故 ,由此可知 ,故线段CE+EF的最小值为推理：这一道题目相比较基础题目来说已经具备了一定的难度，如果不进行提示很多学生想不到将军饮马问题还可以这样考察同时也要求学生能够熟记平分角和相似三角形的相关知识，将其简化为一定点两动点两定直线模型，利用勾股定理和线段最短的定理求解。
3. 研究结论解决本类问题要以不变应万变，在变化中分解图形，抓住不变的特征，“找准一条线，寻找两个点”，然后寻找两个点的对称点，与“将军饮 马”的几种基本模型对接，实现“折”转“直”，甚至“三 ( 多) 折线”转“直”问题的解决就是利用转化化归思想，能够将知识转化成图形，同时教师要强调精准训练，以求达到做一题、会一类、通一片之功效由于饮马问题的载体比较多元化，解决方法多种多样，因此需要学生对所学的知识进行灵活调动，是对学生综合能力的一次考验，因而会对部分学生造成解题困难参考文献[1]曹俊玲. 初中“最短路径问题”课题学习的教学研究[D].广州大学,2019.[2]李思佳. 初中数学“综合与实践”活动课的教学设计与实践研究[D].沈阳师范大学,2019. -全文完-。