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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑数学竞赛教案讲义(13)排列组合与概率 高考资源网（），您身边的高考专家 第十三章 排列组合与概率 一、根基学识 1加法原理：做一件事有n类手段，在第1类手段中有m1种不同的方法，在第2类手段中有m2种不同的方法，?，在第n类手段中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+?+mn种不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，?，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2?mn种不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.
2、m 3排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照确定依次排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(mn)元素的全体排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用An表示，An=n(n-1)?(n-m+1)= n!(n?m)!0mm,其中m,nN,mn, 注：一般地An=1，0！=1，An=n!。 Annnn4N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。 5组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计依次地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同
3、元素中取出m(mn)个元素的全体组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cn表示： Cn?mmn(n?1)?(n?m?1)m!?n!m!(n?m)!. nmn?mmmn?16组合数的根本性质：（1）Cn?Cn；（2）Cn?1?Cn?Cn；（3）Cn?1?Cn；（4） k?1kknC0n?C?C1nnn?Ck?0kn?2nkkkk?1；（5）Ck?Ck?1?Ck?m?Ck?m?1；（6） CnCk?Cn?m。 kmn?k7定理1：不定方程x1+x2+?+xn=r的正整数解的个数为Cr?1。 n?1接待宏大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 1 高考资源网（），您身边的高考专家 证明将r个一
4、致的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+?+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,?,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,?,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有Crn?11种。故定理得证。 推论1 不定方程x1+x2+?+xn=r的非负整数解的个数为Cnr?r?1. 推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复展现的组合叫做n个不同元素的m
5、可重组合，其组合数为Cnm?m?1. n1n?12n?22rn?rrnnab?Cnab?Cnab?Cnb.8二项式定理：若nN+,那么(a+b)=Cn0an?Cn其中第r+1项Tr+1=Cnarn?rb,Cn叫二项式系数。 rr9随机事情：在确定条件下可能发生也可能不发生的事情叫随机事情。在大量重复举行同一试验时，事情A发生的频率 mn总是接近于某个常数，在它邻近摇摆，这个常数叫做事情 A发生的概率，记作p(A),0p(A)1. 10.等可能事情的概率，假设一次试验中共有n种等可能展现的结果，其中事情A包含的结果有m种，那么事情A的概率为p(A)= mn. 11.互斥事情：不成能同时发生的两个
6、事情，叫做互斥事情，也叫不相容事情。假设事情A1，A2，?，An彼此互斥，那么A1，A2，?，An中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12对立事情：事情A，B为互斥事情，且必有一个发生，那么A，B叫对立事情，记A的对立事情为A。由定义知p(A)+p(A)=1. 13相互独立事情：事情A（或B）是否发生对事情B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事情叫做相互独立事情。 14相互独立事情同时发生的概率：两个相互独立事情同时发生的概率，等于每个事情发生的概率的积。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事情A1，A2，?，An相互独立,那
7、么这n个事情同时发生的概率为p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不凭借于其他各次试验的结果, 接待宏大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 2 高考资源网（），您身边的高考专家 那么称这n次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:假设在一次试验中,某事情发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事情恰好发生k次的概率为pn(k)=Cnk?pk(1-p)n-k. 17离散型随机为量的分布列：假设随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数就是一个随机变量，可以取的
8、值有0,1,2,?,10。假设随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,?,xi,?,取每一个值xi(i=1,2,?)的概率p(=xi)=pi，那么称表 p x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ? 为随机变量的概率分布，简称的分布列，称E=x1p1+x2p2+?+xnpn+?为的数学期望或平均值、均值、简称期望，称D=(x1-E)2?p1+(x2-E)2?p2+?+(xn-E)2pn+?为的均方差，简称方差。D?叫随机变量的标准差。 18二项分布：假设在一次试验中某事情发生的概率是p，那么在n次独立
9、重复试验中，这 kkn?k个事情恰好发生k次的概率为p(=k)=Cnpq, 的分布列为 p 00 Cnpq 0n11 Cnpq1n?1? ? kxi Cnpqkn?k? ? N Cnp nn此时称按照二项分布，记作B(n,p).若B(n,p)，那么E=np,D=npq,以上q=1-p. 19.几何分布：在独立重复试验中，某事情第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量，若在一次试验中该事情发生的概率为p，那么p(=k)=qk-1p(k=1,2,?)，的分布按照几何分布，E= 1p，D= qp2(q=1-p). 二、方法与例题 1乘法原理。 例1 有2n个人加入收发电报培训，每两个人结为一对互发
10、互收，有多少种不同的结对方式？ 接待宏大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 3 高考资源网（），您身边的高考专家 2加法原理。 例2 没有电流通过电流表，其理由仅由于电阻断路的可能性共有几种？ 3插空法。 例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安置一个演唱，有多少种不同的安置节目演出依次的方式？ 4映射法。 例4 假设从1，2，?，14中，按从小到大的依次取出a1,a2,a3使同时得志：a2-a13,a3-a23，那么全体符合要求的不同取法有多少种？ 5付出法。 例5 已知集合A=1，2，3，?，10，求A的全体非空子集的元素个数之和。 6容斥原理。 例6 由数字1，2，3组成n位
11、数(n3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少展现1次，问：这样的n位数有多少个？ 7递推方法。 接待宏大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 4 高考资源网（），您身边的高考专家 例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1展现在n位数中，问：能构造出多少个这样的n位数？ 8算两次。 例8 m,n,rN+，证明：Cn?m?CnCm?CnCm 9母函数。 例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，?，10，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规矩计算分值：每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为2022，那么称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。 10组合数Cn的性质。 例10 证明：C2m?1是奇数(k1). nnn例11 对n2,证明：2?C2n?4. kr0r1r?1?CnCm2r?2?CnCm. r0k 11二项式定理的应用。 1?例12 若nN, n2，求证：2?1?3. n?n接待宏大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 5 8
