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1、第 1 页 共 37 页2012-2020 全国卷高考真题分类汇编全国卷高考真题分类汇编 导数大题专项练习导数大题专项练习一、解答题一、解答题1(2020 年高考数学课标卷理科)已知函数2( )exf xaxx(1)当 a=1 时，讨论 f(x)的单调性；(2)当 x0 时，f(x)12x3+1，求 a 的取值范围2(2020 年高考数学课标卷理科)已知函数 f(x)=sin2xsin2x(1)讨论 f(x)在区间(0，)的单调性；(2)证明：3 3( )8f x ；(3)设 nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx34nn3(2020 年高考数学课标卷理科)设函数3(
2、)f xxbxc，曲线( )yf x在点(12，f(12)处的切线与y 轴垂直(1)求 b(2)若( )f x有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：( )f x所有零点的绝对值都不大于 14(2019 年高考数学课标卷理科)已知函数32( )2f xxaxb(1)讨论( )f x的单调性；(2)是否存在, a b，使得( )f x在区间0,1的最小值为1且最大值为 1？若存在，求出, a b的所有值；若不存在，说明理由5(2019 年高考数学课标全国卷理科)已知函数1( )ln1xf xxx 1讨论( )f x的单调性，并证明( )f x有且仅有两个零点； 2设0 x是( )f x的一个零点，
3、证明曲线lnyx在点00,lnA xx处的切线也是曲线xye的切线6(2019 年高考数学课标全国卷理科)已知函数( )sinln(1)f xxx，( )fx为( )f x的导数证明：(1)( )fx在区间1,2存在唯一极大值点；(2)( )f x有且仅有 2 个零点7(2018 年高考数学课标卷（理）)已知函数 22ln 12fxxaxxx(1)若0a ，证明：当10 x 时， 0f x ，当0 x 时， 0f x ；第 2 页 共 37 页(2)若0 x 是 f x的极大值点，求a8(2018 年高考数学课标卷（理）)(12 分)已知函数2( )exf xax(1)若1a ，证明：当0 x
4、时，( )1f x ；(2)若( )f x在(0,)只有一个零点，求a(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。9(2018 年高考数学课标卷（理）)(12 分)已知函数1( )lnf xxaxx(1)讨论( )f x的单调性；(2)若( )f x存在两个极值点12,x x，证明：12122f xf xaxx10(2017 年高考数学新课标卷理科)已知函数 22xxf xaeaex(1)讨论 f x的单调性;(2)若 f x有两个零点,求a的取值范围(二)选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的
5、第一题计分11(2017 年高考数学课标卷理科)(12 分)已知函数 1lnf xxax (1)若 0f x ，求a的值；(2)设m为整数，且对于任意正整数n，2111111222nm，求m的最小值12(2017 年高考数学课标卷理科)(12 分)已知函数3( )ln ,f xaxaxxx且( )0f x (1)求a；(2)证明：( )f x存在唯一的极大值点0 x，且220()2ef x13 (2016 高考数学课标卷理科)设函数( )cos2(1)(cos1)f xaxax,其中0a ,记( )f x的最大值为A.()求( )fx;()求A;()证明( )2fxA.14(2016 高考数学
6、课标卷理科)(本小题满分 12 分)(I)讨论函数2( )2xxf xex-=+的单调性，并证明当第 3 页 共 37 页0 x 时，(2)20 xxex；(II)证明：当0,1)a时，函数2x =(0)xeaxagxx（ ）有最小值设 g x的最小值为( )h a，求函数( )h a的值域15(2016 高考数学课标卷理科)(本小题满分 12 分)已知函数2( )(2)(1)xf xxea x有两个零点(I)求 a 的取值范围；(II)设12,x x是( )f x的两个零点，证明：122xx16(2015 高考数学新课标 2 理科)(本题满分 12 分)设函数2( )mxf xexmx()证
7、明：( )f x在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；()若对于任意12, 1,1x x ，都有12( )()1f xf xe ，求m的取值范围17(2015 高考数学新课标 1 理科)(本小题满分 12 分)已知函数31( ), ( )ln4f xxaxg xx ()当a为何值时，x轴为曲线( )yf x的切线；()用min,m n表示,m n中的最小值，设函数( )min( ), ( )(0)h xf x g xx，讨论( )h x零点的个数18(2014 高考数学课标 2 理科)(本小题满分 12 分)已知函数 f x=2xxeex()讨论 f x的单调性；()设 24g xfxbf
8、x，当0 x 时， 0g x , 求b的最大值；()已知1.414221.4143，估计 ln2 的近似值(精确到 0001)19(2014 高考数学课标 1 理科)设函数1( )lnxxbef xaexx-=+,曲线( )yf x=在点(1,(1)f处的切线(1)2ye x=-+(1)求, a b;(2)证明:( )1f x 20(2013 高考数学新课标 2 理科)已知函数( )ln()xf xexm第 4 页 共 37 页(1)设0 x 是( )f x的极值点，求m，并讨论( )f x的单调性；(2)当2m 时，证明( )0f x 21 (2013 高考数学新课标 1 理科)已知函数(
9、)f x2xaxb，( )g x()xe cxd， 若曲线( )yf x和曲线( )yg x都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线42yx()求a，b，c，d的值()若x2 时，( )f x( )kg x，求k的取值范围。22(2012 高考数学新课标理科)已知函数( )f x满足满足121( )(1)(0)2xf xfefxx(1)求( )f x的解析式及单调区间；(2)若21( )2f xxaxb，求(1)ab的最大值第 5 页 共 37 页2012- -2020 全国卷高考真题分类汇编全国卷高考真题分类汇编 导数大题专项练习导数大题专项练习 （原卷原卷+ +解析解析） 参考答案
10、参考答案一、解答题一、解答题1 （1）当,0 x 时， 0,fxf x单调递减，当0,x时， 0,fxfx单调递增 （2）27,4e【解析】(1)当1a 时， 2xxxefx， 21xfxex，由于 20 xfxe，故 fx单调递增，注意到 00f ，故：当,0 x 时， 0,fxf x单调递减，当0,x时， 0,fxf x单调递增(2)由 3112fxx得，23112xeaxxx，其中0 x ，当 x=0 时，不等式为：1 1，显然成立，符合题意；当0 x 时，分离参数 a 得，32112xexxax，记 32112xexxg xx ， 231212xxexxgxx ，令 21102xexx
11、h xx，则 1xh xex， 10 xhxe ，故 hx单调递增， 00h xh，故函数 h x单调递增， 00h xh，由 0h x 可得：211 02xexx 恒成立，故当0,2x时，( )0gx， g x单调递增；当2,x时，( )0gx； 当(0)3ax，时，( ) 0fx ； 当(0)3ax，时，( ) 0fx 故( )f x在(,) ( 0,)3a，单调递增，在(0)3a，单调递减(2)满足题设条件的,a b存在()当0a时，由(1)知，( )f x在0,1单调递增，所以( )f x在区间0,1的最小值为(0)fb，最大值为(1)2fab此时,a b满足题设条件当且仅当1, 21
12、bab ，即0,1ab ()当a3时，由(1)知，( )f x在0,1单调递减，所以( )f x在区间0,1的最大值为(0)fb，最小值为(1)2fab此时,a b满足题设条件当且仅当21,1abb ，即4,1ab第 9 页 共 37 页()当03a时，由(1)知，( )f x在0,1的最小值为3( )327aafb ，最大值为b或2ab若3= 1127abb，则33 2a ，与03a矛盾若3= 1 2127abab，则3 3a 或3 3或0a ，与03a矛盾综上，当且仅当01ab ，或41ab，( )f x在0,1的最小值为1，最大值为 1【点评】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难
13、度比往年降低了不少考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算思考量不大，计算量略大5 【答案】【答案】 1函数( )f x在0,1和1,上是单调增函数，证明见解析； 2证明见解析.【官方解析】【官方解析】 1( )f x的定义域为0,11,.因为212( )01fxxx，所以( )f x在(0,1)和(1,)上是单调递增.因为1( )101ef ee ，22222e1e3(e )20e1e1f，所以( )f x在1,有唯一零点1x，即1()0f x又1101x，1111111ln()01xfxf xxx ，故( )f x在0,1有唯一零点11x综上，( )f x有且仅有两个零点 2因为0
14、ln01xex，故点001ln,Bxx在曲线xye上由题设知0()0f x，即0001ln1xxx，故直线AB的斜率00000000000111ln111ln1xxxxxkxxxxxx第 10 页 共 37 页曲线xye在点001ln,Bxx处切线的斜率是01x，曲线lnyx在点00(,ln)A xx处切线的斜率也是01x，所以曲线lnyx在点00(,ln)A xx处的切线也是曲线xye的切线【分析】【分析】 1对函数( )f x求导，结合定义域，判断函数的单调性； 2先求出曲线lnyx在00,lnA xx处的切线l，然后求出当曲线xye切线的斜率与l斜率相等时，证明曲线xye切线l在纵轴上的
15、截距与l在纵轴的截距相等即可.【解析】【解析】 1函数( )f x的定义域为0,11,，2211( )ln( )1(1)xxf xxfxxx x，因为函数( )f x的定义域为(0,1)(1,)，所以( )0fx，因此函数( )f x在(0,1)和(1,)上是单调增函数；当(0,1)x，时，0,xy ，而11112( )ln0111efeeee，显然当(0,1)x，函数( )f x有零点，而函数( )f x在(0,1)x上单调递增，故当(0,1)x时，函数( )f x有唯一的零点；当(1,)x时，2222221213( )ln0,()ln01111eeef eef eeeeee，因为2( )(
16、)0f ef e，所以函数( )f x在2( ,)e e必有一零点，而函数( )f x在(1,)上是单调递增，故当(1,)x时，函数( )f x有唯一的零点综上所述，函数( )f x的定义域(0,1)(1,)内有 2 个零点； 2因为0 x是( )f x的一个零点，所以000000011()ln0ln11xxf xxxxx1lnyxyx，所以曲线lnyx在00,lnA xx处的切线l的斜率01kx，故曲线lnyx在00,lnA xx处的切线l的方程为：0001ln()yxxxx而0001ln1xxx，所以l的方程为0021xyxx，它在纵轴的截距为021x .设曲线xye的切点为11( ,)xB x e，过切点为11( ,)xB x e切第 11 页 共 37 页线l，xxyeye，所以在11( ,)xB x e处的切线l的斜率为1xe，因此切线l的方程为111(1)xxye xex，当切线l的斜率11xke等于直线l的斜率01kx时，即11001(ln)xexxx ，切线l在纵轴的截距为01ln110001(1)(1ln)(1ln)xxbexexxx，而0001ln1xxx，所以01
