cos(— + a) cos(龙-a) s^n a^~ cos ")21s i n a =—9a应为第-或第二象限的角，,,ana=±茅,1.3三角函数的诱导公式典题精讲例1已知sin a是方程6x=l-V^的根，那么°°S（:;'龙）Sn（2龙-Q）的值等于（ ）cos（——+ a） cos" - a）2思路解析：先求出方程6x=1-V7的根，即为sina的值，然后对所求式子用诱导公式化简,最后把sina的值代入化简后的式子即可.亠八， 厂 1 口“ cos（6if - 571）tan（2^ - a） （一cos 仅）（一 tan a）由 6x=l-Vx ,解得 x二一，即——二 —— = =-tan a ,9答案：A 黑色陷阱：解答此题的容易出错的地方有两处：一是在解方程6x=l-眉时，忽视了 x的定义域，错误地把得到的负值也保留；二是对各诱导公式掌握不熟练，在化简所求关系式的过 程中出错.tan(cr + 兀)cos3 (-a 一 龙)变式训练化简C0S-6Z + 4龙）+兀）sin2（a + 3龙）思路分析：此题先用诱导公式化为a的三角函数，达到角统一，再切化弦，以保证三角函 数名最少.cos a.2解.原式_cos(-cosa)(-sina)2 二 sigm "二]tan a(—cos 莎sina 2• cos「acos az 5/r 、解：cos ( + a )=cos6[^(ra)]=_cos(ra)=_T例2已知cos（才a）半求cos（寻+ »i『（a冷）的值.7F思路分析：注意到丝-6利用诱导公式即可.a+T+a=n＞可以把Pa化成一（才小av-（rab.2 / 7C、 . 2 厂/ 兀 、「 o / 兀 \Sin（a_7）=Sin ［亍）］皿（丁心.•.cos( — + a)-sin2(a6 6 3 3 3绿色通道：此类题目要灵活运用诱导公式，在做题时要注意观察角与角之间的关系，例如 7T—+ a = ^-(--a).从而利用诱导公式把未知三角函数值用已知三角函数表示出来.6 6变式训练 C 知-sin(a-ii)二 cos ( a -2 “)，求皿(蔦a)+ 5c0S(2—a)的值.2 3 sin(— + a) - sin(-a)思路分析：对已知式和要求值的式子，都先用诱导公式转化为a的三角函数值，再用同角 三角函数的基本关系进行运算.解：由已知，得—一 sin a =cos a , /• tan a =-2. 2原式二sina + 5cosa一 3cosa + sinatan a + 5-3 + tan cr— 2 + 5-3-2例 3 若 f (sinx)=cosl7x,求 f (丄)的值.2思路分析：此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数 表达式的意义，灵活运用诱导公式.解:\T 兀 / 57T 二cos(2 n + ——6 65龙=cos ——6=COS(.^)=-COS^ = -^.6 6 2绿色通道：此类题目在运算过程中要注意选取恰当的角，在运用诱导公式时，要注意角的合 理拆分•解答三角函数问题的时候，除了掌握固定角的三角函数值外，还要能够把某些数值 恰当地转化成某个特殊角的三角函数的形式，以达到简化问题的目的.变式训练 f (cosx)=cosl7x,求 f (sinx).思路分析：本题中引入抽象函数并结合三角两数的关系设计题目，在求解过程中我们要明确 三角函数的相关诱导公式及抽象函数的性质，熟悉相关知识是解决本题的关键.解：f(sinx)=f [cos(90° -x) ] =cos [17(90° -x)]=cos(4X360° +90° -17x)=cos(90° -17x)=sinl7x.问题探究问题1比较公式一和公式二，你能得出什么结论？导思：由公式一可得到a与a加上兀的偶数倍的所有三角函数值相等；由公式二可得到a与a加上ji的奇数倍的余弦、正弦互为相反数，而正切值相等.探究：一般地，a与a+nn (nEZ)的三角函数值的关系如下：I - sin a. n为奇数 sin( a +n 兀)二< …[sin 为偶数，[-cos a. n为奇数,cos ( a +n 兀)=< .“「cos a. n为偶数， tan ( a +n ji )=tan a .因为任意角都可以化为a+kn (kez)的形式，并使| a |<-.所以利用课本中公式一、二、2三，可以把任意角的三角函数求值问题转化为0至壬之间的角的三角函数求值问题.2TT TT问题2诱导公式六：Sin(-+a)=cosa, cos(-+a )=-sina .课本中已经给出了推导方法,2 2你还能用其他的方法推导出这两个公式吗？导思：思路一：借助诱导公式五，实现正眩函数与余弦函数的相互转化，再借助公式三判断 出函数值的符号；思路二：借助单位圆，根据三角函数值去找角的终边，从而得岀公式的推 导.探 %: V—+ a= —-(-a),2 2・••由公式五和公式三有 sin( —+a )=sin [—-(-a )]二cos(-a )=cos a ,2 2JIcos( — + a )=cos [—一(一 a)]二 sin(-a)二一 si na.2 2TT此外，如果是角a的终边与单位圆的交点为P (x,y),则丝-u的终边与单位圆的交点为2Pi(y, X)(原因是角a与角--a的终边关于尸x对称)，又-+ a的终边与--a的终边2 2 27T关于y轴对称，所以a的终边与单位圆的交点为P.(-y, X).2于是有 cos (―+ a )二-y二-sin a , sin (―+ a )=x=cos a .2 2。
