《1.3 正方形》一、选择题1．正方形具有而菱形(línɡ xínɡ)不一定具有的性质是（ ）A．对角线互相(hù xiāng)垂直 B．对角线相等C．对角(duì jiǎo)线互相平分 D．对角相等2．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影(yīnyǐng)面积的和为（ ）A．2cm2 B．4cm2C．6cm2 D．8cm23．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积(miàn jī)依次记为S1，S2，则S1：S2等于（ ）A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：94．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（ ）A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）A． B．2 C． +1 D．2+16．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上(biān shànɡ)的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，则EF的长是（ ）A．7 B．8 C．7 D．78．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点(yī diǎn)，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别(fēnbié)交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S△DHC，其中(qízhōng)结论正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长(yáncháng)交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对10．已知：如图，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面积(miàn jī)记作S1；再作第二个正方形A2B2C2A3，面积(miàn jī)记作S2；继续(jìxù)作第三个正方形A3B3C3A4，面积(miàn jī)记作S3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第6个正方形的面积S6是（ ）A．256 B．900 C．1024 D．4096二、填空题11．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME=．12．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得▱ABCD为正方形．13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为．14．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别(fēnbié)在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为．15．如图，菱形(línɡ xínɡ)ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积(miàn jī)为50cm2，则菱形(línɡ xínɡ)的边长为cm．16．有一面积(miàn jī)为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为．17．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2021B2021C2021的顶点B2021的坐标是．三、解答题18．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．19．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接(liánjiē)DE、DF．求证：DE=DF．20．如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点(yī diǎn)，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．（1）求证(qiúzhèng)：△ABE≌△EGF；（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．21．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证(qiúzhèng)：AP=BQ；（2）在不添加(tiān jiā)任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．22．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，连接CE、CF．（1）求证：△ABF≌△CBE；（2）判断(pànduàn)△CEF的形状(xíngzhuàn)，并说明理由．《1.3 正方形》参考答案与试题(shìtí)解析一、选择题1．正方形具有而菱形不一定(yīdìng)具有的性质是（ ）A．对角线互相(hù xiāng)垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角相等【考点】正方形的性质；菱形的性质．【分析】先回顾一下菱形和正方形的性质，知道矩形的特殊性质是正方形具有而菱形不具有的性质，根据矩形的特殊性质逐个判断即可．【解答】解：菱形的性质有①菱形的对边互相平行，且四条边都相等，②菱形的对角相等，邻角互补，③菱形的对角线分别平分且垂直，并且每条对角线平分一组对角，正方形具有而菱形不一定具有的性质是矩形的特殊性质（①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线相等），A、菱形和正方形的对角线都互相垂直，故本选项错误；B、菱形的对角线不一定相等，正方形的对角线一定相等，故本选项正确；C、菱形和正方形的对角线互相平分，故本选项错误；D、菱形和正方形的对角都相等，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．2．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影(yīnyǐng)面积的和为（ ）A．2cm2 B．4cm2C．6cm2 D．8cm2【考点(kǎo diǎn)】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题(zhuāntí)】压轴题．【分析(fēnxī)】连接AP、AN，点A是正方形的对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积(miàn jī)等于△NAP的面积，同理可得答案．【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．故选B．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．3．有3个正方形如图所示放置(fàngzhì)，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于(děngyú)（ ）A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9【考点(kǎo diǎn)】正方形的性质．【分析(fēnxī)】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出(dé chū)答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2： x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似(xiānɡ sì)三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积(miàn jī)的关系．4．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点(yī diǎn)，且BP=BC，则∠ACP度数(dù shu)是（ ）A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°【考点(kǎo diǎn)】正方形的性质；等腰三角形的性质．【专题】数形结合．【分析】根据正方形的性质可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，从而可求得∠BCP的度数，从而就可求得∠ACP的度数．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC=67.5°，∴∠ACP=∠BCP﹣∠BCA=67.5°﹣45°=22.5°．故选B．【点评】此题主要考查了正方形的性质，解答本题的关键是掌握正方形的对角线平分对角的性质，及等腰三角形的性质，难度一般．5．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）A． B．2 C． +1 D．2+1【考点(kǎo diǎn)】正方形的性质．【分析】由正方形的性质(xìngzhì)和已知条件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出(dé chū)△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出(dé chū)EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．【解答(jiědá)】解：∵正方形ABCD的面积为1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周长=4EF=4×=2；故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．6．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】正方形的性质(xìngzhì)；翻折变换（折叠问题）．【分析(fēnxī)】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据(gēnjù)BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答(jiědá)】解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用(lìyòng)勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．。