浅谈幂级数的应用摘要 幂级数是一类最简单的函数项级数，它可以看作是多项式函数的延伸，幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，利用其性质往往能使一些函数的形式进行转化，进而在题目计算过程中起到化繁为简的作用.本文首先介绍了幂级数，包括幂级数的定义、敛散性、分析性质、函数的幂级数展式等，然后整理分析了近15年考研数学真题，并从中挑选了典型的与幂级数的应用有关的题目，通过举例、归纳的方法，讨论了幂级数在多种计算等方面中的应用，包括在近似计算、求定积分、求函数极限、证明不等式、求高阶导数、求函数项级数的和函数、求微分方程的解等方面的应用，结合实例探讨并阐述了利用幂级数求解相关问题的方法与技巧.很多与函数相关的疑难问题，将原函数展开为幂级数后，再利用幂级数的性质进行运算和变形，往往就迎刃而解了.关键词 幂级数 应用 不等式 极限 微分方程 On the Application of Power SeriesAbstract Power series is a type of function term series, and its analytical nature can often transform the form of some functions, and then play a role in simplifying the problem calculation process. This paper first introduces the basic knowledge of power series, including the definition of power series, convergence and divergence, analytical properties, power series expansion of functions, and important theorems. The problems related to the application of series are analyzed by examples and inductive methods, and the application of power series in various calculations is analyzed, including in approximate calculation, definite integration, function limit, proof inequality, and higher order derivatives , The application of series sum function, etc., combined with examples to discuss and expound the method and skill of using power series to solve related problems.Key words Power Series application inequality limit Differential equation目 录1 前言………………………………………………………………………………………………………11.1 背景和意义………………………………………………………………………………………11.2 本文研究的主要内容……………………………………………………………………………12 幂级数的基本知识………………………………………………………………………………………22.1 幂级数的定义……………………………………………………………………………………22.2 幂级数的收敛区间………………………………………………………………………………22.3 幂级数的性质……………………………………………………………………………………42.4 函数的幂级数展开………………………………………………………………………………62.4.1 泰勒公式……………………………………………………………………………………62.4.2 常见的初等函数的麦克劳林展开式………………………………………………………73 幂级数的应用……………………………………………………………………………………………73.1 在近似计算方面的应用…………………………………………………………………………73.1.1 计算近似值…………………………………………………………………………………73.1.2 计算定积分的近似值……………………………………………………………………83.2 在计算定积分方面的应用……………………………………………………………………93.3 在求极限方面的应用……………………………………………………………………………93.4 在求高阶导数方面的应用………………………………………………………………………103.5 在证明不等式方面的应用………………………………………………………………………113.6 在求和函数方面的应用…………………………………………………………………………143.7 在求解微分方程方面的应用……………………………………………………………………15结论………………………………………………………………………………………………………18参考文献…………………………………………………………………………………………………19致谢………………………………………………………………………………………………………201.前言1.1背景和意义在讨论幂级数之前，应先了解一下级数.级数理论花了很长一段时间去发展完善，芝诺早在公元前400多年就发现了无穷级数，阿基米德通过级数的思想求出了弓形面积.我国古代数学家同样对级数发展做出来贡献，在南北朝时期，数学家祖冲之发现了圆周率的计算方法，这与魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”有着相似之处，这两种方法本质上都与级数有关.14世纪，马德哈瓦第一次给出了幂级数的定义.17世纪到18世纪，数学家们开始了对无穷级数的研究，詹姆斯·格里高得到了一些函数的无穷级数展开式，莱布尼兹对几个三角函数的无穷级数展开式进行了研究，欧拉发现了等比级数.19世纪，数学家们开始对无穷级数的敛散性进行研究，高斯提出了超几何级数并对其敛散性进行了探索，柯西提出了柯西收敛准则，这一准则使得级数理论的发展有了质的突破.同样，幂级数理论在我国也有一定的突破和发展，特别是函数的幂级数展开，清代很多数学家都对此有一定的探索.到了现代，幂级数理论日益完善，学者对幂级数的研究范围不断扩大至对其他数学领域方面的应用，例如对幂级数环的研究.幂级数的应用不止于数学，还被应用到其他领域，其在自然科学，工程技术等方面也有着广泛的应用，例如对圆薄膜问题的研究，对弹性半空间地基上中厚圆板的研究，对运动粘弹性板的稳定性的研究，对强激光场中模型原子的保结构计算的研究.幂级数是一种结构简单的函数项级数，其拥有许多方便计算的分析性质，通过它的各种性质可以把一些较为复杂的函数进行转化化简，进而问题便得到了简化，而利用幂级数对各种问题进行应用的方法和技巧并不是轻易掌握的，这需要有较多的解题经验以及对经验以及从中学到的方法技巧进行研究归纳方能做到.幂级数在高等数学中占据着一定的地位，本文首先展示了幂级数的基础知识，包括幂级数的定义、敛散性、相关定理等.结合实例研究了幂级数在数学中的若干应用，总结了相关经验和方法技巧.有关幂级数应用的文章有很多，但其内容多为分散.本文的写作意义一方面是要将其他学者的期刊、文章分析后进行整理，对例子进行归纳，分析例子中的方法和应用到的性质，尽可能地将幂级数应用的系统性体现出来.另一方面，结合考研数学真题对幂级数的应用进行探讨，使得本文更具有参考价值和实际意义.1.2本文研究的主要内容 本文主要分为四个部分，第一部分介绍了幂级数的发展历史及其应用的研究意义；第二部分介绍了幂级数，为下文应用的写作奠定了基础；第三部分探讨了幂级数的在高等数学中的几个常见应用，并进行了归纳；最后一部分对全文进行了总结.本文主要研究了幂级数在高等数学中的常见应用，包括在求近似值、求积分、求极限、求高阶导数、证明不等式、求和函数等方面的应用.整理了近15年考研数学中与幂级数的应用相关的题目，并挑选典型题型作为实例进行分析研究，对每一个题型作出了一定的归纳总结，使得本文更具有有参考价值和实际意义.2.幂级数的基本知识2.1幂级数的定义定义1[1]p1 由幂函数序列所产生的函数项级数 （1）称为幂级数，其中，，…，，…都是常数，称为幂级数的系数.当=0时，有 （2）2.2幂级数的收敛区间定理1[1]p47（阿贝尔定理） 若幂级数（2）在=≠0处收敛，则满足不等式｜｜＜｜｜的任何，幂级数（2）收敛且绝对收敛；若幂级数（2）在=处发散，则对满足不等式｜｜＞｜｜的任何，幂级数（2）发散.证 设级数收敛，从而数列{}收敛于零且有界，即存在某正数M，使得｜｜＜M（=0,1,2，…）.另一方面，对任意一个满足不等式｜｜＜｜｜的,设r=｜｜＜1，则有由于级数收敛，故级数（2）当｜｜＜｜｜时绝对收敛.接着证明定理的第二部分.设幂级数（2）在=处发散，如果存在某个，它满足不等式｜｜＞｜｜，且使级数收敛，则由定理第一部分可知，幂级数（2）在=处绝对收敛，这与假设相矛盾，所以对一切满足不等式｜｜＞｜｜的，幂级数（2）都发散.，则称为. ..定理2[1]p48 对于幂级数（2），若 ，则当 ； ； .证 对于幂级数，由于，根据级数的根式判别法，当＜1时，收敛，；当＞1时它为发散.于是当0＜ρ＜+∞时，由＜1得幂级数（2）的收敛半径= .当=0时，对任何皆有＜1，所以=+∞.当=+∞时，则对除=0外的任何皆有＞1，所以=0.我们也常用级数的比式判别法来推出幂级数（2）的收敛半径：若，则有ρ.定理3[1]p49（柯西—阿达马定理) 对于幂级数（2），设ρ=则当（i）0＜ρ＜+∞时，收敛半径为R=1ρ； （ii）ρ=0时， R=+∞； （iii）ρ=+∞时， R=0.2.3幂级数的性质由幂级数在其收敛区间上的一致收敛性，且每一项都连续，可得定理4[1]p51 （i）幂级数（2）的和函数是上的连续函数；（ii）若幂级数（2）在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续.： （3） （4） 定理5 证 存在正数与（＜1），对一切正数都有于是，由级数的比式判别法知道，级数收敛.根据级数的比较原则及上述不等式，推知幂级数（3）在点是绝对收敛的（当然也是收敛的）.又因为为上任意一点，这就证得了幂级数（3）在上收敛.现在证明幂级数（3）对一切满足不等式｜｜＞的收敛.如若不然，则幂级数（3）在点（｜｜＞）收敛，则有一数，使得＞＞.由阿贝尔定理，幂级数（3）在 =处绝对收敛，但是，取≥时，就有，盾.. ,若为上任意一点,则有在点可导，且可逐项微分，即 由定理6可得：推论1 记幂级数（2）的和函数为，则在收敛区间上具有任何阶导数，且可逐项求导任何次.推论2 记幂级数（2）在点某领域上和。