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1、数理统计大数定律演示文稿1页，共27页，星期四。 例例2 2 测量一个长度测量一个长度a,a,一次测量的结果不见得就等于一次测量的结果不见得就等于a,a,量了若干次量了若干次, ,其算术平均值仍不见得等于其算术平均值仍不见得等于a,a,但当测但当测量的次数很多时量的次数很多时, ,算术平均值接近于算术平均值接近于a a几乎是必然的几乎是必然的. . 例例1 1 掷一颗均匀的正六面体的骰子掷一颗均匀的正六面体的骰子, ,出现一点的概率是出现一点的概率是1/6,1/6,在掷的次数比较少时在掷的次数比较少时, ,出现出现一一点的频率可能与点的频率可能与1/61/6相差相差得很大得很大. .但是在掷的
2、次数很多时但是在掷的次数很多时, ,出现出现一一点的频率接近点的频率接近1/61/6几几乎是必然的乎是必然的. .一、问题的引入一、问题的引入2页，共27页，星期四。这两个例子说明：这两个例子说明： 在大量随机现象中在大量随机现象中, ,不仅看到了随机事件的频率不仅看到了随机事件的频率具有稳定性具有稳定性, ,而且还看到大量测量值的平均结果也具而且还看到大量测量值的平均结果也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大数定律的客观背景。的客观背景。 大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并论证并论证了它成立
3、的条件了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、在一定即从理论上阐述了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳定性.3页，共27页，星期四。定理定理5.1 契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式4页，共27页，星期四。得得5页，共27页，星期四。 切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。的概率分布进行估计。 从切比雪夫不等式还可以看出从切比雪夫不等式还可以看出, 对于
4、给定的对于给定的 0, 当方差当方差越小时，事件越小时，事件|X-E(X)| 发生的概率也越小，即发生的概率也越小，即X的取值越的取值越集中在集中在E(X)附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量量与其期望值离散程度的一个变量 当当D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了已知时，切比雪夫不等式给出了X与与E(X)的偏差小的偏差小于于 的概率的估计值的概率的估计值 切比雪夫不等式的切比雪夫不等式的用途：用途： （1 1）证明大数定律；）证明大数定律； （2 2）估计事件的概率或区间内取值的下界。）估计事件的概率或区间内取值的下界。
5、6页，共27页，星期四。例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平，每一毫升白细胞数平均是均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率 .解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)做题时如何选取做题时如何选取 ？7页，共27页，星期四。由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P |X-E(X)| 2100即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在520094
6、00之间的概率不小于之间的概率不小于8/9 . P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P |X-E(X)| 21008页，共27页，星期四。【例【例5-2】已知】已知n重伯努利试验中参数重伯努利试验中参数p = 0.75，问，问至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率在在0.74和和0.76之间的概率不低于之间的概率不低于0.90？ 解：解： 设需做设需做n次试验，其中成功的次数为次试验，其中成功的次数为X，则则XB(n，p)，E(X) = np，D(X) = np(1 p)。因为因为根据契比谢夫不等式应有根据契
7、比谢夫不等式应有9页，共27页，星期四。令令 解得解得所以至少应做所以至少应做18750次试验次试验10页，共27页，星期四。 例例3:在供暖的季节在供暖的季节,住房的平均温度为住房的平均温度为20度度,标准标准差为差为2度度,试估计住房温度与平均温度的偏差的绝试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于对值小于4度的概率的下界度的概率的下界.解解11页，共27页，星期四。【练习】若某班某次考试的平均分为【练习】若某班某次考试的平均分为80分，标分，标准差为准差为10，试估计及格率至少为多少？，试估计及格率至少为多少？ 解：解：用随机变量用随机变量X表示学生成绩，则数学期表示学生成绩，则数学期望
8、望E(X) = 80，方差，方差D(X) = 100，所以，所以P60 X 100 P60 X 100 = P|X 80| 20所以及格率至少为所以及格率至少为75%12页，共27页，星期四。练习练习 设电站供电网有设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到到7200盏之间的概盏之间的概率。率。 解解 令令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从服从n=10000，p
9、=0.7的二项分布，的二项分布，这时这时 由切贝雪夫不等式可得由切贝雪夫不等式可得:13页，共27页，星期四。 定义：定义： 若存在常数若存在常数a, a,使对于任何使对于任何二、依概率收敛的概念二、依概率收敛的概念则称随机变量序列则称随机变量序列Xn依概率收敛于依概率收敛于a有有记：记：14页，共27页，星期四。如如意思是意思是:当当a意思是意思是:时时,Xn落在落在内的概率越来越大内的概率越来越大.,当当而而15页，共27页，星期四。依概率收敛序列的性质依概率收敛序列的性质:16页，共27页，星期四。三、基本定理三、基本定理定理定理5.25.2的推论的推论 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律
10、切比雪夫切比雪夫定理的特殊情况定理的特殊情况17页，共27页，星期四。证明证明由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得取极限并由夹逼定理得：取极限并由夹逼定理得：18页，共27页，星期四。 定理表明：在一定条件下，定理表明：在一定条件下，n n个个随机变量的算术随机变量的算术随机变量的算术随机变量的算术 平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数平均依概率收敛于常数，即当，即当n n充分大时它几乎为常充分大时它几乎为常 数。数。关于定理的说明关于定理的说明:（这个接近是概率意义下的接近）（这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下, n个随机变量的算术平均个随机
11、变量的算术平均, 当当n无限增无限增加时加时, 几乎变成一个常数几乎变成一个常数.19页，共27页，星期四。定理的另一种叙述定理的另一种叙述:切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律的一个推论通常称为贝努里大数定律的一个推论通常称为贝努里大数定律.20页，共27页，星期四。证明证明引入随机变量引入随机变量定理定理5.4 伯努利大数定律伯努利大数定律21页，共27页，星期四。显然显然根据定理根据定理5.2有有22页，共27页，星期四。关于伯努利大数定律的说明关于伯努利大数定律的说明: 故而当故而当 n 很大时很大时, 事件发生的频率与概率有较事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小大偏差的可能性很小.
12、 在实际应用中在实际应用中, 当试验次数很当试验次数很大时大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.23页，共27页，星期四。关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:(1) 与定理一相比与定理一相比, 不要求方差存在不要求方差存在;(2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况伯努利定理是辛钦定理的特殊情况. 定理定理5.3 辛钦大数定律辛钦大数定律(3) 辛钦定理是第辛钦定理是第7章点估计中矩估计的重要依据章点估计中矩估计的重要依据. 24页，共27页，星期四。四、小结四、小结三个大数定理三个大数定理契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况伯努利大数定理伯努利大数定理辛钦定理辛钦定理频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础, , 而伯努利而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性. .25页，共27页，星期四。26页，共27页，星期四。解解 27页，共27页，星期四。
