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1、1第六章第六章定积分的应用定积分的应用贵州师范学院贵州师范学院高等数学高等数学2一、定积分的几何应用一、定积分的几何应用应用应用1:平面图形的面积平面图形的面积依据依据:定积分的几何意义定积分的几何意义求函数求函数与与及及x轴围成图形的面积轴围成图形的面积3abc4例求椭圆例求椭圆xa所围成的图形的面积所围成的图形的面积例例:求半径为求半径为r的圆面积。的圆面积。5求函数求函数围成图形的面积围成图形的面积与与6f(x)g(x)ab7例例:求由求由所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。8yxy=f (x)cd另一种曲边梯形：另一种曲边梯形：y=f(x)与与y=c,y=d和和y轴围成的图形的面积
2、轴围成的图形的面积9求椭圆求椭圆xyb所围成的图形的面积所围成的图形的面积10cd求函数求函数围成图形的面积围成图形的面积与与11cdC*12 求平面图形的面积：求平面图形的面积：作出图形很重要！作出图形很重要！134-214应用应用2 2：旋转体的体积：旋转体的体积15求半径为求半径为r的球的体积。的球的体积。1617例：底面半径例：底面半径r，高为，高为h的圆锥的圆锥的体积。的体积。18例：求由曲线例：求由曲线和和所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x和和y轴旋转轴旋转所得到的旋转体的体积。所得到的旋转体的体积。19所求弧长所求弧长应用应用3：平面曲线的弧长：平面曲线的弧长20例：计算曲线
3、例：计算曲线上上x从从0到到1的一段弧的长度。的一段弧的长度。21定积分几何应用的方法总结：微元法定积分几何应用的方法总结：微元法面积微元：用于近似小曲边梯面积微元：用于近似小曲边梯形的长方形的面积形的长方形的面积22体积微元：用于近似不规则立体积微元：用于近似不规则立体的圆柱体的体积。体的圆柱体的体积。23弧长微元：用于近似小弧长度的线段的长度。弧长微元：用于近似小弧长度的线段的长度。24微微 元元 法法1、选取积分变量，确定其变化区间。、选取积分变量，确定其变化区间。2、计算所求微元（如面积微元、体积微元）、计算所求微元（如面积微元、体积微元）3、将所求化为定积分。、将所求化为定积分。25
4、微微 元元 法法 应应 用用求如图示的极坐标下的图形的面积求如图示的极坐标下的图形的面积 。面积微元：小扇形的面积面积微元：小扇形的面积26例例. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,则所求面积为则所求面积为27求用垂直于坐标轴的截面去截立体求用垂直于坐标轴的截面去截立体,当截面面当截面面积已知时的立体体积。积已知时的立体体积。所求体积为所求体积为: :注意体积微元注意体积微元dVdV28例例. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成与底面交成 角角,解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为计算该
5、平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .29思考思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面是什么？面积函此时截面是什么？面积函 数又是什么数又是什么 ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ?30参数方程下曲线的弧长参数方程下曲线的弧长31例、求摆线的一拱与例、求摆线的一拱与x轴围成轴围成的拱的长度。的拱的长度。32题型题型填空填空20%、选择、选择20% 、计算、计算20% 、解答题解答题20% 、应用题、应用题18%、证明、证明4% 期末复习期末复习33第五、六章：定积分及其应用第五、六章：定积分及其应用 复习复习一、了解（知道并能简单地应用）
6、一、了解（知道并能简单地应用）1、定积分的基本性质和积分中值定理。、定积分的基本性质和积分中值定理。 34二：理解二：理解1、定积分的概念和几何意义、定积分的概念和几何意义2、理解限可变的定积分函数的概念及其求导法则理解限可变的定积分函数的概念及其求导法则 三、掌握及会求三、掌握及会求3、会求定积分（牛顿一莱布尼茨公式、会求定积分（牛顿一莱布尼茨公式 、分项积分法、分项积分法、换元积分法、分部积分法、利用偶倍奇零。）换元积分法、分部积分法、利用偶倍奇零。）4、会求平面图形的面积，会求旋转体的、会求平面图形的面积，会求旋转体的体积，能进行简单的经济学的应用。体积，能进行简单的经济学的应用。1、会
7、用变限定积分求导公式求导。、会用变限定积分求导公式求导。2、会用积分中值定理。、会用积分中值定理。35第四章第四章 不定积分不定积分1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理。定积分的性质，了解原函数存在定理。 2、掌握不定积分的基本公式，、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的分项积分法、掌握不定积分的分项积分法、换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。3、会求不定积分（含有理函数的不定积分）、会求不定积分（含有理函数的不定积分）36第三章第三章 微分定理和导数的应用微分定理和导数的应用1、熟记中值定理的条件与结论（罗尔
8、、拉、熟记中值定理的条件与结论（罗尔、拉格朗日和柯西中值定理），能利用中值定理格朗日和柯西中值定理），能利用中值定理进行简单的证明和判断方程根的个数。进行简单的证明和判断方程根的个数。3、理解导数与函数性质的关系；会利用导、理解导数与函数性质的关系；会利用导数研究函数的单调性、拐点、凹凸区间、数研究函数的单调性、拐点、凹凸区间、极值（驻点）与最值。会求渐近线。极值（驻点）与最值。会求渐近线。2、会利用导数求各种类型不定式的极限，、会利用导数求各种类型不定式的极限，掌握幂指函数极限的求法。掌握幂指函数极限的求法。37第二章第二章 导数与微分导数与微分1、会用导数的定义判断导数的存在性（左导、会用
9、导数的定义判断导数的存在性（左导数与右导数。知道可导、可微、连续的关系。数与右导数。知道可导、可微、连续的关系。2、会用求导法则（四则运算法则、复合函、会用求导法则（四则运算法则、复合函数求导法则、反函求导法则）求初等函数数求导法则、反函求导法则）求初等函数的导数，会求隐函数的导数、会求参变量的导数，会求隐函数的导数、会求参变量函数的导数、会求二阶导数，会求常见函函数的导数、会求二阶导数，会求常见函数的数的n阶导数，掌握取对数求导法。阶导数，掌握取对数求导法。3、能进行简单的导数的应用。（求切线方、能进行简单的导数的应用。（求切线方程、瞬时速度等，会用微分进行近似计算）程、瞬时速度等，会用微分
10、进行近似计算）38第一章第一章 函数与极限函数与极限1、熟记函数与数列极限的性质、熟记函数与数列极限的性质2、熟记常见的极限（含两类特殊极限）、熟记常见的极限（含两类特殊极限）3、掌握无究小的性质、无穷小与无穷大的、掌握无究小的性质、无穷小与无穷大的关系，熟记常见的等价无穷小。关系，熟记常见的等价无穷小。4、会求极限（换元法、无穷小替换法以及与洛比达法则会求极限（换元法、无穷小替换法以及与洛比达法则结合、会用两边夹定理求极限。）结合、会用两边夹定理求极限。）5、会判断函数在某点的连续性，会判断间、会判断函数在某点的连续性，会判断间断点的类型。断点的类型。6、掌握闭区间上连续函数的性质。、掌握闭
11、区间上连续函数的性质。39提示提示1、可带计算器、可带计算器2、考试完了教材拿好、考试完了教材拿好40判断方程判断方程的根的个数的根的个数证明不等式：证明不等式：41第四节第四节：有理函数的不定积分有理函数的不定积分有理函数有理函数:（1）有理函数为假分式时，有理函数为假分式时，若分子能被分母若分子能被分母整除，则有理函数可以化为多项式函数，有理整除，则有理函数可以化为多项式函数，有理函数不定积分可以由幂函数积分公式结合运算函数不定积分可以由幂函数积分公式结合运算法则求出。法则求出。42（2）有理函数为假分式时，若分子不能被分）有理函数为假分式时，若分子不能被分母整除，则假分式必可以表示成一个
12、多项式与母整除，则假分式必可以表示成一个多项式与真分式的和。真分式的和。（3）有理函数为真分式时，分母多项式能分解成若）有理函数为真分式时，分母多项式能分解成若干一次因式和二次三项因式的乘积（二次三项式已干一次因式和二次三项因式的乘积（二次三项式已经不能再因式分解）经不能再因式分解）真分式必可以分解成如下四种基本形式的真分式之和：真分式必可以分解成如下四种基本形式的真分式之和：4344假分式化为多项式与真分式的和的方法：假分式化为多项式与真分式的和的方法：多项式除法。多项式除法。例：将下列假分式写成多项式与真分式的和。例：将下列假分式写成多项式与真分式的和。45例例. 化简化简设：设：由：由：
13、得：得：真分式化简的方法：待定系数法。真分式化简的方法：待定系数法。46例例. 化简化简易得各系数。易得各系数。47四种典型真分式的不定积分四种典型真分式的不定积分: 48四种典型真分式的不定积分四种典型真分式的不定积分: 4950至此，至此，3可以求出。可以求出。515253设：设：下利用递推公式求下利用递推公式求54利用此递推公式及利用此递推公式及可求出可求出至此，可求出（至此，可求出（4）。）。55求：求：56可化为有理函数的不定积分可化为有理函数的不定积分1、多项式换元法、倒代换换元法。、多项式换元法、倒代换换元法。57万能公式换元法化不定积分为有理函数万能公式换元法化不定积分为有理函
14、数积分的适用：被积函数为三角函数。积分的适用：被积函数为三角函数。2、万能公式换元法。、万能公式换元法。58第五节第五节 积分表的使用积分表的使用（略）（略）注意：初等函数在连续区间上都有原函注意：初等函数在连续区间上都有原函数，但是并非所有连续初等函数的原函数，但是并非所有连续初等函数的原函数都是初等函数。数都是初等函数。不能用初等函数表示。不能用初等函数表示。59课后作业：习题课后作业：习题4-3：奇数题：奇数题习题习题4-4：偶数题：偶数题课后作业：课后作业：P192习题习题4-1:2（1-8），），习题习题4-2：2（35-44）60第五章第五章定积分定积分第一节第一节定积分的概念及性
15、质定积分的概念及性质 61一、问题引入一、问题引入1. 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积A曲边梯形：由连续曲线曲边梯形：由连续曲线以及两直线以及两直线所围成所围成 ,62631)在区间在区间 a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点用直线用直线将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形;2)在第在第i 个窄曲边梯形上个窄曲边梯形上任取任取作以作以为底为底 ,为高的小矩形为高的小矩形,矩形面积矩形面积643)4) 令令则曲边梯形面积则曲边梯形面积652. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动,且且求在该时间内物体所经过的路程求在该
16、时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤: 1)将它分成将它分成2) 求和：求和：得得已知速度已知速度n 个小段个小段66) 取极限取极限 上述两个问题的共性上述两个问题的共性:所求极限形式相同所求极限形式相同67二、定积分定义二、定积分定义任一种任一种分割分割任取任取有极限有极限 I , 则称此极限则称此极限 I 为函数为函数在区间在区间上的上的定积分定积分,即即此时称此时称 f ( x ) 在在 a , b 上上可积可积 .记作记作68积分上限积分上限积分下限积分下限被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量69定积分的几何意义定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积曲边梯形面积的相反数曲边梯形面积的相反数70例：例：利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解:任一种任一种分割分割任取任取71（）（）.（）（）且只有有限个间断点且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件（）（）72例例1. 计算定积分计算定积分解解: 将将 1,2 n 等分等分, 分点为分点为取取737475三、定积分的性质三、定积分的性质(设所列定积分都存在设所列定积分都存在)规定：规定：76
