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1、函数的最大(小)值与导数 制作人:徐凯精讲部分:年级:高三 科目:数学 类型:同步 难易程度:中 建议用时:20-25min一.知识点:1函数f(x)在闭区间a,b上的最值函数f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在a,b上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数yf(x)在a,b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值3函数在开区间(a,b)的最值在开区间(a,b)内连续的函数不一定有最大值与最小值;若函数f(x
2、)在开区间I上只有一个极值,且是极大(小)值,则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值4极值与最值的意义(1)最值是在区间a,b上的函数值相比较最大(小)的值;(2)极值是在区间a,b上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值二.典例分析题型一求函数在闭区间上的最值例1已知函数f(x)x3ax21(aR),且f(x)在点(,f()处的切线垂直于y轴(1)求实数a的值;(2)求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值解(1)依题意:f()0,因为f(x)3x22ax,所以3()22a0,所以a1.(2)由(1)知:f(x)x3x21,f(x)3x22x,令f(x)0x10,x2.
3、因为f(0)1,f(),f(2)3,所以f(x)max,f(x)min3.题型二由函数的最值求参数例2(1)已知函数f(x)ax36ax2b,x1,2的最大值为3,最小值为29,求a,b的值解由题设知a0,否则f(x)b为常函数,与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4),令f(x)0,得x10,x24(舍去)当a0,且x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知,当x0时,f(x)取得极大值b,也就是函数在1,2上的最大值,f(0)b3.又f(1)7a3,f(2)16a3f(1),f(2)16a329,解得a
4、2.当af(1),f(2)16a293,解得a2.综上可得,a2,b3或a2,b29.(2)已知h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28,求k的取值范围解h(x)x33x29x1,h(x)3x26x9.令h(x)0,得x13,x21,当x变化时h(x)及h(x)的变化情况如下表.x(,3)3(3,1)1(1,)h(x)00h(x)284当x3时,取极大值28;当x1时,取极小值4.而h(2)30)(1)求函数f(x)的最小值h(t);(2)在(1)的条件下,若h(t)0),当xt时,f(x)的最小值为f(t)t3t1,即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2t)t33t1.
5、由g(t)3t230及t0,得t1,当t变化时,g(t),g(t)的变化情况如下表:t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值由上表可知当t1时,g(t)有极大值g(1)1.又在定义域(0,2)内,g(t)有唯一的极值点,函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值,即g(t)max1.h(t)2tm在(0,2)内恒成立,即g(t)m在(0,2)内恒成立,当且仅当g(t)max11时上式成立,实数m的取值范围是(1,)题型四利用导数证明不等式例4求证:当x0时,ln(x1)xx2.证明设f(x)ln(x1)(xx2)ln(x1)xx2,函数的定义域是(1,),则f(x)
6、1x.当x(1,)时,f(x)0,f(x)在(1,)上是增函数当x0时,f(x)f(0)0,即当x0时,ln(x1)xx2.三.课堂小结:1求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;若函数在一个开区间内只有一个极值,这个极值就是最值2已知最值求参数时,可先确定参数的值,用参数表示最值时,应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题精练部分:年级:高三 科目:数学 类型:同步 难易程度:中 建议用时:随堂练习10-15min 课后作业30min四.随堂练习:1函数f(x)x33x(x0,f(x)单调递增;当x(1,1)时,f(x)0,则函数在区间上为增函数,所以y的最大值为ym
7、axsin ,故选C.3.若函数f(x)3xx3在区间(a212,a)上有最小值,则实数a的取值范围是()A(1,) B(1,4) C(1,2 D(1,2)答案A解析由f(x)33x20,得x1.当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表:x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)22由此得:a2121a,解得1a1)的最小值解因为f(x)(r1)(1x)r(r1)(r1)(1x)r1,令f(x)0,解得x0.当1x0时,f(x)0时,f(x)0,f(x)在(0,)内为增函数故函数f(x)在x0处取得最小值f(0)0.6.函数f(x)x2cos x,x,的值域是_答案1,解析f(
8、x)2xsin x,令f(x)0,即2xsin x0得x0,f(0)cos 01,f()f(),f(x)的最大值为,f(x)的最小值为1.则f(x)的值域为1,7.已知函数f(x)x3ax23x,若x3是f(x)的极值点,求f(x)在x1,a时的最值解f(x)3x22ax3,由题意知f(3)0,即276a30,解得a5,f(x)3x210x3.令f(x)0,即3x210x30,解得x3或x(舍去)f(3)9,f(1)1,f(5)15,当x1,5时,f(x)的最小值为9,最大值为15.(1)若函数f(x)3xx3在区间(a212,a)上有最小值,则实数a的取值范围是()A(1,) B(1,4)C
9、(1,2 D(1,2)答案A解析由f(x)33x20,得x1.当x变化时,f(x)及f(x)的变化情况如下表:x(,1)1(1,1)1(1,)f(x)00f(x)22由此得:a2121a,解得1ae时,y0;当x0.y极大值f(e),在定义域内只有一个极值,所以ymax.3已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为,则a等于()A B. C D.或答案C解析当a1时,最大值为4,不符合题意,当1a2时,f(x)在a,2上是减函数,f(a)最大,a22a3,解得a或a(舍去)4已知函数f(x)x3x23x,直线l1:9x2yc0,若当x2,2时,函数yf(x)的图象恒在直线l的下方,则c的取值范围是()A(0,) B(,6) C(6,) D(,0)答案B解析直线l:yx,由题意知:f(x)(x)0在2,2上恒成立,即x3x2x0,故g(x)在2,2上单调递增,g(x)maxg(2)30,c6.5设直线xt与函数f(x)x2,g(x)ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B. C.