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1、函数的最大（小）值与导数 制作人：徐凯精讲部分：年级：高三 科目：数学 类型：同步 难易程度：中 建议用时：20-25min一.知识点：1函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3函数在开区间(a，b)的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x
2、)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值4极值与最值的意义(1)最值是在区间a，b上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间a，b上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值二.典例分析题型一求函数在闭区间上的最值例1已知函数f(x)x3ax21(aR)，且f(x)在点(，f()处的切线垂直于y轴(1)求实数a的值；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值解(1)依题意：f()0，因为f(x)3x22ax，所以3()22a0，所以a1.(2)由(1)知：f(x)x3x21，f(x)3x22x，令f(x)0x10，x2.
3、因为f(0)1，f()，f(2)3，所以f(x)max，f(x)min3.题型二由函数的最值求参数例2(1)已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值解由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)当a0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a
4、2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.(2)已知h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围解h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时h(x)及h(x)的变化情况如下表.x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h(2)30)(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的条件下，若h(t)0)，当xt时，f(x)的最小值为f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2t)t33t1.
5、由g(t)3t230及t0，得t1，当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值由上表可知当t1时，g(t)有极大值g(1)1.又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max1.h(t)2tm在(0,2)内恒成立，即g(t)m在(0,2)内恒成立，当且仅当g(t)max11时上式成立，实数m的取值范围是(1，)题型四利用导数证明不等式例4求证：当x0时，ln(x1)xx2.证明设f(x)ln(x1)(xx2)ln(x1)xx2，函数的定义域是(1，)，则f(x)
6、1x.当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数当x0时，f(x)f(0)0，即当x0时，ln(x1)xx2.三.课堂小结：1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最值问题精练部分：年级：高三 科目：数学 类型:同步 难易程度：中 建议用时：随堂练习10-15min 课后作业30min四.随堂练习：1函数f(x)x33x(x0，f(x)单调递增；当x(1,1)时，f(x)0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ym
7、axsin ，故选C.3.若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(1，) B(1,4) C(1,2 D(1,2)答案A解析由f(x)33x20，得x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得：a2121a，解得1a1)的最小值解因为f(x)(r1)(1x)r(r1)(r1)(1x)r1，令f(x)0，解得x0.当1x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)在(0，)内为增函数故函数f(x)在x0处取得最小值f(0)0.6.函数f(x)x2cos x，x，的值域是_答案1，解析f(
8、x)2xsin x，令f(x)0，即2xsin x0得x0，f(0)cos 01，f()f()，f(x)的最大值为，f(x)的最小值为1.则f(x)的值域为1，7.已知函数f(x)x3ax23x，若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a时的最值解f(x)3x22ax3，由题意知f(3)0，即276a30，解得a5，f(x)3x210x3.令f(x)0，即3x210x30，解得x3或x(舍去)f(3)9，f(1)1，f(5)15，当x1,5时，f(x)的最小值为9，最大值为15.(1)若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(1，) B(1,4)C
9、(1,2 D(1,2)答案A解析由f(x)33x20，得x1.当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)22由此得：a2121a，解得1ae时，y0；当x0.y极大值f(e)，在定义域内只有一个极值，所以ymax.3已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于()A B. C D.或答案C解析当a1时，最大值为4，不符合题意，当1a2时，f(x)在a,2上是减函数，f(a)最大，a22a3，解得a或a(舍去)4已知函数f(x)x3x23x，直线l1：9x2yc0，若当x2,2时，函数yf(x)的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是()A(0，) B(，6) C(6，) D(，0)答案B解析直线l：yx，由题意知：f(x)(x)0在2,2上恒成立，即x3x2x0，故g(x)在2,2上单调递增，g(x)maxg(2)30，c6.5设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A1 B. C.
