考研线性代数行列式(工科类)考研线性代数行列式(工科类)第一章行列式行列式的常用计算方法：化三角形；递推法；数学归纳法，公式法知识要点线性代数中与行列式有关的内容：1.时，齐次线性方程组AX=0有非零解，但非齐次线性方程组没有唯一解（可能无解或无穷解）2.时，A可逆，可用A*求逆；3.对n个n维向量可用其行列式判其线性相关性；0A0A12,,,n6.可用顺序主子式判二次型的正定性TXAX4.可定义矩阵A的秩；5.利用特征多项式求矩阵的特征值，且EA12nA从1987年全国统考以来，行列式的题以填空、选择为主，题量不多，且偏重于计算 对于落到行列式的考题，大致为三种类型，一是数字型行列式的计算，一是抽象型行列式的计算，还有就是行列式值的判定（特别是行列式是否为零？）在这些考题中不仅考查行列式的概念、性质及计算，还涉及到矩阵、向量、方程组、特征值二次型等知识点 一、数字型行列式的计算1.（6分）设n元线性方程组Ax=b，其中，，.2222212121212nnaaaaaAaaaa12nxxxx100b评注：本题关于三对角线行列式的计算通常用递推法 （96年数四考题中出现过）例如，本题按第一列展开，有(1)nAna证明行列式2122nnnDaDaD211212()nnnnnnDaDaDaDaDaD211223221()()()nnnnnnnnDaDaDaDaDaDaDaDa11222()2nnnnnnnnaaDaDaaaaDaD11(1)(1)nnnaDnana注：1.递推公式由2122nnnDaDaD也可直接往下推由同学们完成2.如果不是证明，而是求呢？A3.如果要求解方程呢？例如见下题：留给读者(6分)设n元线性方程组Ax=b，其中2222212121212aaaaaAaaaa12nxxxx100b()当a取何值时，该方程组有唯一解，并求x1；()当a取何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
练习题(1)100011000110001100011aaaaDaaaaa参考：543(1)DaDaD评注：本题可以按第一行（列）直接展开，建立递推公式；也可将各行（列）加到第一行（列）再展开，不过在建立，递推公式时一定要注意符号问题（如将各列加到第一列再展开），否则会出错！留作考生作练习 0111110111110111110111110A(2).（3分）设n阶矩阵则A提示：用行列式性质作，注意技巧：使第一行或列元素一致 参考答案：1(1)(1)nAn评注：本题除用行列式的性质及展开计算外，你能用特征值更简便地求出该行列式的值吗?(提示：R（A）1充要条件为A（a1a2an）T（b1b2bn）且A的特征值为n，0，，0注意本题ABE，其中111111111B评注：除去用行列式的性质及展开公式计算外,你能利用特征值更简便地求出行列式的值吗？A综述对于数字型行列式的计算主要是按行、列展开公式，但在展开之前往往先运用行列式的性质对其作恒等变形 以期某行或某列有较多的零元素，这时再展开可减轻计算量同时，也要注意一些特殊公式，如上(下)三角、范德蒙行列式、拉普拉斯展开式的运用EA虽然单独命的计算题并不多，但在特征值问题中有较多型行列式的计算，性相关矩阵可逆、n个未知数n个方程的齐次方程组、二次型的正定等问题中都会涉及到行列式的计算，因此对行列式的计算要重视，不要因小失大二、抽象型行列式的计算1111,,,2341BE1.（3分）若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为，，，，则行列式2112AB(1).（4分）设矩阵，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则练习一：要会计算这些题:14AE(2).（4分）设3阶矩阵A的特征值为1，2，2,E为3阶单位矩阵，则12312,,,,1231,,,m1223,,,n12312,,,(3)（3分）若都是4维列向量，且4阶行列式，，则4阶行列式（A）mn；（B）（mn）(C)n-m;(D)m-n评注：作为抽象型行列式，本题主要考查行列式的性质210120001AB2（4分）设矩阵，矩阵B满足：ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵.则注意：式AA*=A*A=E的应用及kA的性质答案：13BA评注：本题没有必要解出，不要出错11(2)3BAEAnkAkA注意123,123(,,)A123123123(,24,39)B1AB(3)（4分）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么注意：行列式与矩阵运算的不同；参考答案：232,,2B123111(,,)123149B另有B可分解为再利用范德蒙行列式的结果，注意矩阵分解是常用的方法。
评注：本题还涉及到范德蒙行列式 另外，本题用行列式性质恒等变形也是可行的，例如 1231231232439B12323233512323312323332231223123222123123123000xxxxxxxxx2110B三、行列式是否为零的判断（3分）齐次方程组的系数矩阵为A 若存在三阶矩阵B0使得AB=0，则且（A）（B）20B0B且（C）且（D）且0B21()()rArBn注：作为选择题，只需在与评注：对于条件AB=0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组AX0的解二是秩的信息即，要有这两种思考问题的意识另外，还可由AB=0可推出A,B都不可逆（反证）也是解决问题的一种思路中选择一个，因而可以用特殊值代入0AB0AB0AB0AB（3分）设A是mn矩阵 B是nm矩阵，则(B)当mn时，必有行列式(C)当nm时，必有行列式(D)当nm时，必有行列式(A)当mn时，必有行列式这样的题能快捷判断吗?2 设A是n阶非零矩阵TAAA0，证明：（至少用两种方法作）12(,,,)nA0A是n阶矩阵，那么行列式矩阵A不可逆秩r(A)nAX0有非零解0是矩阵A的特征值A的列(行)向量线性相关综述：若因此，判断行列式是否为零的问题，常用的思路有：用秩；用齐次方程组是否有非零解；用特征值能否为零；反证法也是重要的；因为行列式是一个数，若AA，则亦能得出0A的结论这里所涉及的思路与方法可以平行的转移到矩阵A是否可逆的判定中去结束 4Word版本。