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1、九年级数学（上册）考点解析 第一章：证明（二） 1.4 角平分线一、考点解析1、角平分线的性质定理及其应用；2、角平分线性质定理的逆定理及其应用；3、角平分线与平行线的简单组合图形的相关考察；4、角平分线的对称性；5、三角形三个内角角平分线会交于一点，这个点的位置与三角形形状之间的关系以及这个点相关性质；6、有关角平分线的作图问题.二、典型例题解析例1、如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，BE、CF分别是ABC、BCD的平分线，与AD的交点分别为E、F，则：（1）求证：AFDE；（2）求证：BECF.证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，AEBCBE，BE平分ABC，
2、ABECBE，ABEAEB，AEAB，同理可得，DFCD，AEDF，AFDE，（2）由四边形ABCD是平行四边形得：ABCD，ABCBCD180，BE平分ABC，CF平分BCD，ABC2CBE，BCD2BCF，2CBE2BCF180，CBFBCF90，BECF.例2、如图2，在ABC中，已知ABAC，AD平分BAC，CDAD于点D，E为BC边的中点，求证：.证明：在AB上取一点F，使FACA，连接FD，则由AD为BAC的角平分线得：FADCAD，又ADAD，FADCAD，FDACDA90，FDCD，FDACDA180，C、D、F三点共线，FDCD，BECE，DE为CBF的中位线，.例3、如图3
3、1，在ABC中，已知AD垂直于ABC的平分线BD，AE垂直于ACB的平分线CE，请判断线段DE与ABC的三边AB、BC、CA之间有何关系？并给出证明.证明：如图32，在BC上取一点F，使FBAB，连接FD，则由BD平分ABC得：FBDABD，又BDBD，FBDABD，FDBADB90，FDAD，FDBADB180，A、D、F三点共线，在BC上取一点G，使GCAC，连接GE，则由CE平分ACB得GCEACE，又CECE，GCEACE，GECAEC90，GEAE，GECAEC180，A、E、F三点共线，在AFG中，FDAD，GEAE，DE为AFG的中位线，.例4、如图4，已知四边形ABCD的对角线
4、AC、BD分别平分BCD、ABC，O为AC与BD的交点，若BCABCD，求BOC的度数.解：在BC上取一点E，使BEBA，连接OE，则由AC平分BCD得ABOCBO，又BABE，BOBO，BAOBEO，AOBEOB，BCABCD，BCBECE，BABE，CECD，又由BD平分ABC得OCEOCD，又CECD，OCOC，BAOBEO，COECOD，AOBCOD，AOBBOEEOC180，BOECOE60，BOCBOECOE120.自我测评试题一、选择题1、如果一个三角形三内角平分线的交点在此三角形内，那么这个三角形是（ ）. A、锐角三角形 B、直角三角形C、钝角三角形 D、以上情况都有可能2、
5、下列结论中，错误的一个是（ ）. A、在平面内，到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上B、到角的两边距离相等的点与角的顶点的连线平分这个角C、一条直线上有一个点到已知角两边的距离相等，这条直线平分这个角D、角内有两点各自到角的两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角3、在ABC中，ACB90，ACBC，AD是BAC的平分线，DEAB于点E，若AB10cm，则BDE的周长为（ ）. A、8cm B、9cm C、10cm D、12cm4、如图5，已知在ABC中，D为ABC与ACB的角平分线的交点，且BDC130，则BAC（ ）. A、80 B、65 C、55 D、505、如图6，已知在ABC中
6、，AD平分BAC交BC边于D，且ABCB，ACABCD，则BAC（ ）.A、24 B、30 C、36 D、48二、填空题6、如图7，已知P为ABC内一点，点P到三角形三边BC、CA、AB的距离PD、PE、PF恰好相等，若BAC66，则BPC（ ）. 7、在ABC中，ABAC，且ABC平分线与AC边的夹角为66，则这个三角形底角的度数为（ ）. 8、如图8，已知三条直线两两相交，那么到这三条直线的距离恰好相等的点一共有（ ）个. 9、如图9，已知在ABC中，D为ABC和ACB的角平分线的交点，过点D作EFBC与边AB、AC分别交于点E、F，若AB5cm，AC3cm，则AEF的周长为（ ）cm.
7、10、在一个三角形中，如果一个角的平分线恰好是这个角的对边上的高，那么这个三角形一定是（ ）.三、解答题11、如图10，已知OA、OB分别是从O城到A、B两城的两条笔直的公路，C、D是这个区域内的两个小镇.请你作出点P，使点P到两条公路OA、OB的距离相等，到两个小镇C、D的距离也相等.（保留作图痕迹，写出作法）12、如图11，在ABC中，已知AD垂直于ABC外角的平分线BD，AE垂直于ACB外角的平分线CE，请判断线段DE与ABC的三边AB、BC、CA之间有何关系？并给出证明. 参考答案：一、选择题 答案： 1、D 2、C 3、C 4、A 5、C提示： 1、三角形的三个内角平分线的交点一定在
8、三角形内，而与三角形本身的形状没有关系，因此应选择D.2、由角平分线的基本性质及判定定理即可判断答案为C.3、由D点在CAB的平分线上以及C90、DEAB得CDED，因此BDE的周长为BDDEEBBDCDEBBCBEAEEBAB10，应选择C.4、由BD平分ABC，CD平分ACB得：ABCACB2（DBCDCB）2（180130）100，A18010080，故选A.5、在AC上取一点E，使AEAB，连接DE，则由AD平分BAC得：BADEAD，ADAD，BADEAD，ABAE，AEDB180（BACC）1802BAC，CED2BAC，而ACABCDAECE，CDCE，即CDECED2BAC，又
9、CCEDCDEBAC2BAC2BAC180，BAC36，所以应选择C.二、填空题答案： 6、123 7、44或76 8、4 9、8 10、等腰三角形提示： 6、由BAC66可知ABCACB18066114，点P到三角形三边BC、CA、AB的距离PD、PE、PF恰好相等，因此点P是三角形三内角平分线的交点.PBCPCB114257，BPC180（PBCPCB）18057123. 7、分三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论：当顶角为锐角时，底角为76；当顶角为钝角时，底角为44. 8、具体画图验证即可，但应该注意这样的点并不一定在三条直线所围成的三角形内，还可以在三角形外. 9、由BD平
10、分ABC得ABDCBD，又EFBC，EDBCBDEBD，DEBE；同理，DFCF，AEF的周长为AEEDDFFAAEEBFCAFABAC538（cm）. 10、由等腰三角形“三线合一”性质可得结果.三、解答题（1）作AOB的平分线OG；（2）连接CD，作线段CD的垂直平分线MN；（3）MN交OG于点P.点P即为所求作的点. 12、在BC上取一点F，使FBAB，连接FD，则由BD平分ABC得：FBDABD，又BDBD，FBDABD，FDBADB90，FDAD，FDBADB180，A、D、F三点共线，在BC上取一点G，使GCAC，连接GE，则由CE平分ACB得GCEACE，又CECE，GCEACE，GECAEC90，GEAE，GECAEC180，A、E、F三点共线，在AFG中，FDAD，GEAE，DE为AFG的中位线，.
