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1、2015年高四综合检测题（一）数学（理）2015.12.23一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上。1、己知集合 M =xl|x-l|l,集合 N = xx2-2x3，则 M0CrN = （）A. |xl 0 x 2 B. xl -1 x 2 C. 兀丨一1 vx 2 或xSx cGC = Q ,则sin A:sinB:sinC=()A. 1:1:1 B. V3:l:2 C. V3:2:l D. 3: 23 : 26 已知函数 f （x） = ax2,g （x） = logfl x （其中 a 0
2、JIL a Hl）,若.f（4）g（-4）0 ,则 f （a）, g （x）在同一坐标系内的大致图象是（）7、若点P是函数y = ex 一小一 3x（- y x 5ttB、3兀C、兀TT4则Q的最小值为（)D、71A 228、设凡月是椭圆话+討1的两个焦点，P是椭圆上的点，川阳：处|=4 : 3,则4/7诙的面积等于（A.B. 6C. 229.已知向最人8与屆的夹角为60,B.AB =3, ACT TT=2,若 4P = /L4B+AC,且 AP 丄 BC,则实数兄的值为（）A.丄 B.丄 C. D.2 6 12 1210. 已知椭圆c：砒力的离心率为右，双曲线-7=1的渐近线与椭圆有四个交点
3、,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为（）22 222222A、1 B、1 C、1 D、182126164205二、填空题。本大题共有5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在答题卡的相应位置。11、已知函数/（x） = Acos2（wx + 0） + 1（AO,wO,Ov0Z）的最大值为3, /（兀）的图象与y 2轴交点坐标为（0,2）,其相邻的两条对称轴的距离为2,则/（1） + /（2） + - + /（2015）=.3x-y-6 0 ,若目标函数z = ax + by(a0,b0)的最人值为10,x 0, y 023则一+二的最小值为a b13、已知过点A（l,
4、0）且斜率为k的直线/与阴【C:（兀3） + （y 2尸=1相交于P,Q两点则AP AQ的值为兀(0,1兀(1,214. 曲线）；=x2和曲线/=%围成的图形的面积是X X15、定义在R上的函数/（兀）满足/（x + 2）= 2/（x）,当兀w（0,2时，/（兀）=-log2x若x g (-4,-2时，f (x) /3 cos x sin2x2 cos(龙一兀)(1) 求函数/(x)的最小正周期及单调递减区间；TT(2) 当xg(0,-)时，求/(兀)的最人值，并求此时对应的兀的值。217. 已知各项都不相等的等差数列切的前6项和为60,且逐为和血的等比中项.(1) 求数列&的通项公式；(2)
5、 若数列加满足 彌L方尸禺(用N*),且A=3,求数列*的前刀项和On18、在四棱锥P - ABCD中，AB/CD.AB 丄二 2, AD 二血，CD = l.PA 丄平面 ABCD,PA 二 2.(I) 设平面PABc平面PCD = m ,求证：CD/m；逅(II) 设点Q为线段PB上一点,R直线QC与平面PAC所成角的正切值为一2 求丝的值.PB19、在平而宜角坐标系x血中，已知圆/+/-12%+32=0的圆心为0,过点A0, 2)K斜率为A的 直线与圆0相交于不同的两点儿B.(1) 求斤的取值范围；(2) 是否存在常数乩使得向量OA + OBij殛共线？如果存在，求&值；如果不存在，请说
6、明理由20s （本小题满分14分）y2 ,21已知椭圆C: + = 1（6/&0）的离心率e = ,点A为椭圆上一点，ZF/F60S ab2-几 Saf/e =巧 （1）求椭圆C的方程；（2）设动肓线l:y = kx-m与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x = 4相交于点0,问:在兀轴上是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点M的坐标；若不 存在，说明理由。21.（本小题 14 分）已知函数 f（x） = ax3+x2 -ax（a,xe R）.（1）当0 = 1吋，求函数.f（Q的极值；（2）若/（兀）在区间0,+00）上单调递增，试求d的収值或収值范围；11Q（3）
7、设函数（x） = /（兀）+ （2a ）x d + 1, x g （1,/?, （b1）,如果存.在6/ e （-oo,-l,对任意兀丘（一1,列都有h（x）0成立，试求b的最.大值.2015年高四综合检测题（一）2015. 12. 23答案与提示1-5： D B C A D6-10： A B C B DIL 403012. 513. 714. -15. -2,0)11(1,+00)2cosx=sin2 x +V3sinxcosx 25(2“彳)16. M： (1) /W=(sinx + V3cosx)2sinxcosx1 - cos 2x 命小 1=+ sin 2x 2 2 27T周期 T
8、=兀、因为 cosxhO,所以xx + k,k eZ,、” r 冗 r/T 3/rn亠1 2xG F 2TT,F 2ktt,62 2rr5/rTC即 3+ X+ k7l,x + k7T,k G Z 时函数/(x)单调递减；y?yzyz, y?所以于(兀)的单调递减区间为一 +炽，一 +炽)，(一 + R九+炽北wZ.3226x I./小 TC、7C7T 5/、(2 ) 当 兀 W (0, ) , 2xG (,),2 66 6兀、兀TTsin(2;r-一)e(-一,1,当兀二一时取最大值,故当x =-时，函数/(兀)的最大值为1.-12分 6233d=2,17【解】设等差数列&的公差为(狞0),
9、解得日 1 = 5,.61+15(7=60,ax &+20d = $i + 5d爲 “=2刀+3.(2)由 b bti=a,n ./?一人-1 = /-1 (“22,bn (bn bn-) + (bn-L U HF (&Z?l) + 方1 =日“一 1 +/-231 + Z?1=(刀1) (/?1+4)+3 = /?(刀+2).又 5 = 3 适合.:.b=n(n+2) gN*).1_1(1_L)3z?2+5/7* * bfl n n+2.刀+2，7；=2(1 _ 3 + 2 _ 4 + * * * +_+2) =2(2_+1_7+2) =4 n+1n+2 (18)解：(I )证明：V ABI
10、ICD.CDZ 平 ifliPA 乩 ABu 平面 P4B,因为CD U平面PCD,平面PABc平面PCD二m/. CDllm4分.CD/平面 PCD.(II)设 = A,因为 AB 丄 AD,PD 丄平ABCD ,PB所以建立如图所示的空间宜角坐标系设Q (上y,刃，直线0与平而网厂所成角为0.所以西=几两即Q (2 2,0, -2 2 +2)6分9所以 C2 = (2/l-l,-V2-2/1 + 2)7 分乔二(0,0,2),Xc = (l,C,0)平面 PAC 的一个法B co0,解得一丫从0,即A的取值范围为(一孑0).设力(石，yi), Bg 乃)，贝(J OA + OB = (xi
11、+a2, y+y2).43由方程，得丫+卫=_+#, 又乃=&(石+动+4.而 P(0, 2), 0(6,0),苑=(6, -2),所以OA+ 而与 殛共线等价于(必+卫)=一35+乃) 将代入上式，解得A=-|由知圧(一扌，0),故没有符合题意的常数上20. 解：(1)由0 =丄可得，a2 =4c2,2S中AF二丄I AF, II Anisin 60 =V3可得,AFX AF21=4, 2分在AF/尺中由余弦定理有,1 2 2 I耳AF+I爲A卩_2|纬4|妨A|cos60=4?,又|人耳丨+ 1 A笃1=2,可得a2-c2 =3,4分? 2联立晚得，宀4,宀匕,宀3所以椭圆方程为才+专儿6
12、分y = kx + m(2)设点 P(x0, y0),由 v 兀22,得(42 + 3)x2 + Skmx + 4m2 -12 = 0, 8 分+ = 1143A = 64k2m2 -4(4A:2 + 3)(4m2 -12) = 0 ,化简得4k2-m2+3 = 0f 所以4km _ 4k_ 34k2 +3m in10分4k 3 i y = kx + fn所以P（,一）由，得Q（4,4R+加），假设存在点M,处标为（旺,0）,m m x = 4 4k 3.则MP = (xp), MQ = (4-xl,4k + m)f 12分m m1 厭 4jr因为以P0为直径的圆恒过点M，所以MP MQ=0,即+ -4旺+彳+一 + 3 = 0
