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1、2016. 5. 301.已知函数 f(x) = 2sin2(x-)4-V3 cos2x-3 , xg 4_4 2(1)求.f (兀)的最大值和最小值；若方程f(x) = m仅冇一解,求实数m的取值范围.2.已知数列色的各项均为正数，S”是数列色的前n项和,R4S”二a； +2色一3 .(1)求数列的通项公式；（2）已知仇=2,求侏=axbx +a2h2 +d“仇的值.3.空气质量指数PM2.5(单位：u g/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这 个值越高，解代表空气污染越严重：PM2.5日均浓度035357575115115150150250250空气质量级别一级二级三级四级五级六
2、级空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染某市2013年3刀8日一4刀7 口(30天)对空气质虽指数PM2. 5进行检测，获得数据后 整理得到如下条形图：估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率；(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，求至少有一天空气质量类别为中 度污染的概率.4. 如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，分別为AF,BC的中点.(1)求证：MN 平而CDEF；(2)求多面体A - CDEF的体积.備现图2a 15. 己知函数 f（x） = x2anx（aE R） （1）若函数/（X）在X = 2时取得极值，求实数Q的值；（2）若f（X） 0对任意
3、1,4-00）恒成立，求实数d的取值范围.6. 已知为椭圆C: + yr- = l（ab0_L两动点，耳，耳分别为其左右焦点, cr直线AB过点场（c,0）,几不垂直于兀轴，ABFX的周长为8,且椭圆的短轴长为2 JL（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点P为椭圆C的左端点，连接PA并延长交直线l:x = 4于点M.求证：总 线过定点.7. （极处标与参数方程选讲）（本小题满分10分）在平而直角他标系中，以处标原点为 极点，兀轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A的极坐标为（V2,-），直线的极坐标4方程为pcos（&-兀）=a ,且点A在直线上.4（1）求d的值及宜线的玄角坐标方程；X =
4、1 + C0S6Z_（2） M C的参数方程为.,（Q为参数），试判断直线与闘的位置关系.I y = sina参考答案f(x) = 2sin2(x-)4-/3 cos2x-3 解：4=品 cos 2兀 一 sin 2兀一 2 = 2 cos(2x + )-271兀兀、2兀7龙xe=(2x+ )e.4 2.6_ 36所以当2兀+龙=7兀，即时，九心(兀)=一的一25分6 6 2当 2x4- = ,即 x=兀时，firiin(%) = -46 分6 12TTjt方程f(x) = m仅有一解，则函数f(x) = 2cos(2x+ )-2在氏642的图像与函数g(x) = m的图像仅有个交点。由图像得
5、m的取值范围为(-馆一 2, -3卜-48分11分13分2.(1) % =2 + 1. (2) 7；=(2n-l)2M+,+2o【解析】试题分析：(1)令 n = l,解III a! = 3, (ai = 0 舍)，由 4Sn = an2 + 2an 3及当 n2 时 4sn-i = a；】+ 2an-i 3一得到 a： 一 a；- - 2an + an_x ) = 0,确定得到”是以3为首项，2为公差的等差数列.(2)利用“错位相减法”求和.113试题解析：(1)当 n时，a=s=-a+-a一一，解出 33, (a0 舍)1 分424X 4Sn = an2 + 2an3当 时 4sn-i =
6、+ 2an.i 3一 4an =a-+ 2(an - an_x),即 a - a_x - 2(an + an_x ) = 0,a + % ja 一 一 2)=o,4 分勺 + an- an - Cln- =2( 2 ),数列给是以3为首项，2为公差的等差数列，an = 3 + 2(n 1) = 2n 4-1.6 分(2) 7；=3x2i+5x22+. + (2 + l)2又 27；=3x22 +5x23- + (2n-l)-2w+(2n + l)2w+,一 Tn =-3x2l -2(22 +23 + 2”)+2 + 1)2，= -6 + 8-2x2n+, +(2川 + 1)2和=(2/? -1
7、)2/,+, + 212 分Q3. (l)lll条形图可知空气质量类别为良的天数为16,所以概率为良的概率为；15(2)从空气质量级别为三级和四级的数据中任取2个，基本事件有15个，具中至少有一犬空3气质量类别为中度污染的事件有9个，所以概率为;.试题解析：(1)由条形监测图可知，空气质量级别为良的天数为16天，所以此次监测结果 中空气质量为良的概率为=8 ;30 15(2)样本中空气质量级別为三级的有4天，设其编号为a,b,c,d ；样本中空气质量级别为 四级的有 2 天，设其编号为e,f ,则基本事件有： (a,b),(d,c),(a,d),(a,), (a,/),(b,c),(Sd),(
8、,0),0,/),(c,d),(c,w),(c,共15个,其中至少有一天空气质量类别为中度污染的情 况有：仏),(b,),(c,),(d,),(a,/),(也/),(c,/),(,/),(/)共 9 个，所以至少有一天空93气质量类别为中度污染的概率为二.155考点：统计与概率.4 (1)证明：由多mAEDBFC的三视图知，三棱柱AED-BFC小，底面D4E是等腰直角三角形，DA = AE = 2, D4丄平面ABEF侧面都是边长为2的正方形.连结EB,则M是EB的中点，在AEBC中，MN/EC,且 EC u 平面 CDEF, MN Q 平面 CDEF,(2)因为 04 丄平rfn ABEF
9、, EF u平ffi ABEF t:.EF 丄 AD,又EF丄AE,所以，EF丄平面ADE ,:.四边形CDEF是矩形，且侧而CDEF丄平而DAE8分取DE的中点H, DA丄AE, DA = AE = 2 f :. AH = 41 , K AH丄平而CDEF.10 分所以多而体 A-CDEF 的体积 V = 1 SCDFF AH=iDEEFAH = .12 分3 CDEF33考点：三视图，平行关系，垂直关系，儿何体的体积.5.试题解析：(1) fx) = laX - 2a .依题意冇：广(2) = 0, BP1 + 2-6z = 0 f x433解得2检验当*2时,3 3 兀 + 2x x2(
10、1)(2)此时：函数/在(1,2)上单调递减，在(2,+oo) 单调递增，满足在x = 2时取得极值、3综上：a =5分2(2)依题意：/(%) 0对任意xg1,+oo)恒成立等价转化为fmn(x)0在xwl,+oo)恒成(X _ (2d l)(x 1)立6分E、ic/、 、2(7-1 2a因力心1+ %2令广(X)= 得：兀1 = 2a 1,兀2 = 1当2a-0在1,+oc)恒成立，则/(兀)在1,+co)单调递增,于是 ZninU) = /(!) = 2-2zo,解得：a,此时：a1即al时,函数/(兀)在1,2a-1单调递减,在2a- 1,-Ko)单调递增,于是 Ain () = /(
11、2 -1) /(I) = 2 - 2a 6. （1）结合图形及椭圆的定义先得到ABF.的周长为4。，进而根据条件列出方程组4a = 8厂，从中求解即可得出。力的值，进而可写出椭圆的方程；（2） III （1）确定2b = 2/3卩（一2,0）迅（1,0）,进而设点）（兀2，力），设直线PA:x = my-29联立直线与椭圆的方程，解出点I 12,设直线PB:x = m.y-2 ,可得（3厲 + 4 3“ + 4 丿-12 y进而根据AFB三点共线得出H =力，将点A, 3的坐标 （3mf+4 3mf+4丿西 一1 x2-l（3、代入并化简得到m2+4 = 0,进而求出M点的坐标，M 4,- m
12、2，然后写出直线BM、2 ）3的方程并化简得到y = -4加2 （兀一2），从该直线方程不难得到该直线恒通过定点（2,0）,问 题得证.试题解析：（1）依题意有：片的周长为 AB + AFi + BFi |=| A 笃 | + | B笃 | + | A 耳 | + | 旳 =(AFAF21) + (| 码 | + | 购 |) = 4a所以4a = S =? = 2则椭阴C的方程为+ - = 14分2b = 2V3/? = V343（2）由椭圆方程可知P（-2,0）,场（1,0），点 A（x1,y1）,B（x2,y2）x = my-2设直线PA:*“y_2，由* y2 得（3诉+4）歹2一12
13、甲y = 0 ,从而必乜 寫 、4 * 3 =刈 +加-2曙二，即点A6诚一 8 12“、 戶衬+43加+4丿同理设直线PB:x = m2y-2,可得B6加；一 812mt3 喝 + 43 用 + 4由A,F”B三点共线可得kAFy =，即 刃=力，代入4, B两点坐标化简可得xx -1 x2 -1m2ml-4n (加%)(% +4) = 0 = a + 4 = 0直线/:x = 4可得点M 4,l 丿从而直线BM的方程为y二3加；+426加；-83 ml + 4333化简得 y = _ m2 (-V-4)m2,即 y = - m2 (x-2),从而直线BM过定点(2,0)12分.考点：1椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.7.(1)由点A(V2,-)在直线pcosS = g上,可得a =迈,44所以直线的方程可化为 cos 0 + p sin & = 2 ,从1佃直线的直角坐标方程为x+y-2 = 0.由已知得圆C的直角坐标方程为(X 1)2 +才=1 ,所以圆心为(1,0),半径r = 1以为圆心到直线的距离d = J v 1,所以直线与圆相交. 2考点：1.直线极坐标方程；2圆的参数方程；3直线与圆的位迸关系.
