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1、热点05 二次函数 在中考中，二次函数可以是以选择、填空题的形式考察，也可以以解答题的形式考察，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高。而考察的内容主要有：二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中，二次函数与其他综合相关的实际问题，虽然不是压轴出题，但是一般计算量较大，需要考试特别注意自己的计算不要有失误。1. 二次函数的解析式：根据已知条件，选择合适的表达式求解； 一般情况下：当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式yax2+bx+c（a0）求其表达式；当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，
2、常用顶点式ya（x-m）2+h（a0）求其表达式；若（x1，0）(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式ya（x-x1）(x-x2)（a0）求其表达式；2.二次函数图象及其性质：牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用；其中：二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断;含有a、b两个字母时，考虑对称轴;含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断，另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方
3、关系，想办法消掉一到两个字母再判断含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑.其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。3.二次函数的简单应用：认真审题、分清问题类型、注意计算；利润最大化问题与二次函数模型：两公式：单位利润=售价-进价；总利润=单位利润销量；两转化：销量转化为售价的一次函数；总利润转化为售价的二次函数；函数性质：利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值；与现实生活结合类问题，常需要自己先建立合适的平面直角坐标系，之后再根据信息做题； 二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见，和实际应用结合时，多考察现实生活中的“生
4、意问题”或者“省钱问题”；数学模型考察热点有：一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。A卷（建议用时：80分钟）1（2021广州中考真题）抛物线yax2+bx+c经过点（1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，5），则当x2时，y的值为（）A5B3C1D5【分析】根据抛物线与x轴两交点，及与y轴交点可画出大致图象，根据抛物线的对称性可求y5【解答】解：如图抛物线yax2+bx+c经过点（1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，5），可画出上图，抛物线对称轴x1，点（0，5）的对称点是（2，5），当
5、x2时，y的值为5故选：A2（2021包头中考真题）已知二次函数yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b），则一次函数ybxac的图象不经过（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据二次函数yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b），可以判断b0和ac异号再根据一次函数的性质即可求解【解答】解：点（1，b）在第一象限b0b0二次函数yax2bx+c（a0）的图象经过第一象限的点（1，b）bab+ca+c0a0ac0一次函数ybxac的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限故选：C3（2021常州中考真题）已知二次函数y（a1）x2，当x0时，y随x增大
6、而增大，则实数a的取值范围是（）Aa0Ba1Ca1Da1【分析】由二次函数的性质得a10，即可求解【解答】解：二次函数y（a1）x2，当x0时，y随x增大而增大，a10，a1，故选：B4（2021阜新中考真题）如图，二次函数ya（x+2）2+k的图象与x轴交于A，B（1，0）两点，则下列说法正确的是（）Aa0B点A的坐标为（4，0）C当x0时，y随x的增大而减小D图象的对称轴为直线x2【分析】因为图象开口方向向上，所以a0，故A错误，因为图象对称轴为直线x2，且过B（1，0），所以A点坐标为（3，0），故B错误，D正确，当x0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，即选D【解答】解：
7、二次函数ya（x+2）2+k的图象开口方向向上，a0，故A错误，图象对称轴为直线x2，且过B（1，0），A点的坐标为（3，0），故B错误，D正确，由图象知，当x0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，故C错误，故选：D5（2021绍兴中考真题）关于二次函数y2（x4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A有最大值4B有最小值4C有最大值6D有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为6，然后即可判断哪个选项是正确的【解答】解：二次函数y2（x4）2+6，a20，该函数图象开口向上，有最小值，当x4取得最小值6，故选：D6（2021徐州中考
8、真题）在平面直角坐标系中，将二次函数yx2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（）Ay（x2）2+1By（x+2）2+1Cy（x+2）21Dy（x2）21【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案【解答】解：将二次函数yx2的图象向左平移2个单位长度，得到：y（x+2）2，再向上平移1个单位长度得到：y（x+2）2+1故选：B7（2021黔东南州中考真题）如图，抛物线L1：yax2+bx+c（a0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个
9、阴影部分的面积和为（）A1B2C3D4【分析】根据题意可推出OB2，OA1，ADOC2，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可【解答】解：如图所示，过抛物线L2的顶点D作CDx轴，与y轴交于点C，则四边形OCDA是矩形，抛物线L1：yax2+bx+c（a0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），OB2，OA1，将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则ADOC2，根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，S阴影部分S矩形OCDAOAAD122故选：B8（2021深圳中考真题
10、）二次函数yax2+bx+1的图象与一次函数y2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【分析】由二次函数yax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致【解答】解：A、由抛物线可知，a0，b0，c1，对称轴为直线x，由直线可知，a0，b0，直线经过点（，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x，直线不经过点（，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x，直线不经过点（，0），故本选项不符合题意；D、由抛物线可知，对称轴为直线x，直线不经过点（，0），故本选项不符
11、合题意；故选：A9（2021淄博中考真题）对于任意实数a，抛物线yx2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是 【分析】根据题意得到4a24（a+b）0，求得a2a的最小值，即可得到b的取值范围【解答】解：对于任意实数a，抛物线yx2+2ax+a+b与x轴都有交点，0，则（2a）24（a+b）0，整理得ba2a，a2a（a）2，a2a的最小值为，b，故答案为b10（2021陕西中考真题）某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DAOB，垂足为A已知OCOB8m，OA2m，则该水流距水平面的最大高度
12、AD的长度为（）A9mB10mC11mD12m【分析】设抛物线解析式为ya（x2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为ya（x2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：，解得，抛物线解析式为y（x2）2+9，所以当x2时，y9，即AD9m，故选：A11（2021北京中考真题）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A一次函数关系，二次函数关系B反比例函数关系，二次函数关系C一次函数
13、关系，反比例函数关系D反比例函数关系，一次函数关系【分析】矩形的周长为2（x+y）10，可用x来表示y，代入Sxy中，化简即可得到S关于x的函数关系式【解答】解：由题意得，2（x+y）10，x+y5，y5x，即y与x是一次函数关系Sxyx（5x）x2+5x，矩形面积满足的函数关系为Sx2+5x，即满足二次函数关系，故选：A12（2021沈阳中考真题）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质
14、即可得到结论【解答】解：设销售单价定为x元（x9），每天所获利润为y元，则y204（x9）（x8）4x2+88x4484（x11）2+36，所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，故答案为1113（2021阿坝州中考真题）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，下列说法错误的是（）Aa0，b0Bb24ac0C方程ax2+bx+c0的解是x15，x21D不等式ax2+bx+c0的解集是0x5【分析】根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，所以a0；对称轴为直线x2，所以b4a，所以b0，故A正确因为抛物线与x
