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1、热点05 二次函数 在中考中,二次函数可以是以选择、填空题的形式考察,也可以以解答题的形式考察,题目的难度都在中上等,也常作为中考中难度较大的一类压轴题的问题背景,占的分值也较高。而考察的内容主要有:二次函数图象与性质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等。其中,二次函数与其他综合相关的实际问题,虽然不是压轴出题,但是一般计算量较大,需要考试特别注意自己的计算不要有失误。1. 二次函数的解析式:根据已知条件,选择合适的表达式求解; 一般情况下:当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式yax2+bx+c(a0)求其表达式;当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴)时,
2、常用顶点式ya(x-m)2+h(a0)求其表达式;若(x1,0)(x2,0)是抛物线与x轴的两个交点坐标,故知道抛物线与x轴两交点坐标时,常用交点式ya(x-x1)(x-x2)(a0)求其表达式;2.二次函数图象及其性质:牢记顶点公式、注意识别图象与系数的关系、注意抛物线的对称性及其性质的应用;其中:二次函数符号判断类问题大致分为以下几种基本情形a、b、c单个字母的判断,a 由开口判断,b由对称轴判断(左同右异),c由图象与y轴交点判断;含有a、b两个字母时,考虑对称轴;含有a、b、c三个字母,且a 和b系数是平方关系,给x取值,结合图像判断,另:含有 a、b、c 三个字母,a和b系数不是平方
3、关系,想办法消掉一到两个字母再判断含有b2和 4ac,考虑顶点坐标,或考虑.其他类型,可考虑给x取特殊值,联立方程进行判断;也可结合函数最值,图像增减性进行判断。3.二次函数的简单应用:认真审题、分清问题类型、注意计算;利润最大化问题与二次函数模型:两公式:单位利润=售价-进价;总利润=单位利润销量;两转化:销量转化为售价的一次函数;总利润转化为售价的二次函数;函数性质:利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值;与现实生活结合类问题,常需要自己先建立合适的平面直角坐标系,之后再根据信息做题; 二次函数在中考中单独出题和结合出题的形式都比较常见,和实际应用结合时,多考察现实生活中的“生
4、意问题”或者“省钱问题”;数学模型考察热点有:一次函数与二次函数结合问题、二次函数图象与性质、二次函数与几何图形结合的面积最值问题、二次函数与其他几何图形结合的点在坐标特征问题等。A卷(建议用时:80分钟)1(2021广州中考真题)抛物线yax2+bx+c经过点(1,0)、(3,0),且与y轴交于点(0,5),则当x2时,y的值为()A5B3C1D5【分析】根据抛物线与x轴两交点,及与y轴交点可画出大致图象,根据抛物线的对称性可求y5【解答】解:如图抛物线yax2+bx+c经过点(1,0)、(3,0),且与y轴交于点(0,5),可画出上图,抛物线对称轴x1,点(0,5)的对称点是(2,5),当
5、x2时,y的值为5故选:A2(2021包头中考真题)已知二次函数yax2bx+c(a0)的图象经过第一象限的点(1,b),则一次函数ybxac的图象不经过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】根据二次函数yax2bx+c(a0)的图象经过第一象限的点(1,b),可以判断b0和ac异号再根据一次函数的性质即可求解【解答】解:点(1,b)在第一象限b0b0二次函数yax2bx+c(a0)的图象经过第一象限的点(1,b)bab+ca+c0a0ac0一次函数ybxac的图象经过一、二、四象限,不经过第三象限故选:C3(2021常州中考真题)已知二次函数y(a1)x2,当x0时,y随x增大
6、而增大,则实数a的取值范围是()Aa0Ba1Ca1Da1【分析】由二次函数的性质得a10,即可求解【解答】解:二次函数y(a1)x2,当x0时,y随x增大而增大,a10,a1,故选:B4(2021阜新中考真题)如图,二次函数ya(x+2)2+k的图象与x轴交于A,B(1,0)两点,则下列说法正确的是()Aa0B点A的坐标为(4,0)C当x0时,y随x的增大而减小D图象的对称轴为直线x2【分析】因为图象开口方向向上,所以a0,故A错误,因为图象对称轴为直线x2,且过B(1,0),所以A点坐标为(3,0),故B错误,D正确,当x0时,由图象可知y随x的增大先减小后增大,故C错误,即选D【解答】解:
7、二次函数ya(x+2)2+k的图象开口方向向上,a0,故A错误,图象对称轴为直线x2,且过B(1,0),A点的坐标为(3,0),故B错误,D正确,由图象知,当x0时,由图象可知y随x的增大先减小后增大,故C错误,故选:D5(2021绍兴中考真题)关于二次函数y2(x4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A有最大值4B有最小值4C有最大值6D有最小值6【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质,可以得到该函数有最小值,最小值为6,然后即可判断哪个选项是正确的【解答】解:二次函数y2(x4)2+6,a20,该函数图象开口向上,有最小值,当x4取得最小值6,故选:D6(2021徐州中考
8、真题)在平面直角坐标系中,将二次函数yx2的图象向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为()Ay(x2)2+1By(x+2)2+1Cy(x+2)21Dy(x2)21【分析】直接利用二次函数的平移规律,左加右减,上加下减,进而得出答案【解答】解:将二次函数yx2的图象向左平移2个单位长度,得到:y(x+2)2,再向上平移1个单位长度得到:y(x+2)2+1故选:B7(2021黔东南州中考真题)如图,抛物线L1:yax2+bx+c(a0)与x轴只有一个公共点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2,则图中两个
9、阴影部分的面积和为()A1B2C3D4【分析】根据题意可推出OB2,OA1,ADOC2,根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积,利用矩形的面积公式进行求解即可【解答】解:如图所示,过抛物线L2的顶点D作CDx轴,与y轴交于点C,则四边形OCDA是矩形,抛物线L1:yax2+bx+c(a0)与x轴只有一个公共点A(1,0),与y轴交于点B(0,2),OB2,OA1,将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2,则ADOC2,根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积,S阴影部分S矩形OCDAOAAD122故选:B8(2021深圳中考真题
10、)二次函数yax2+bx+1的图象与一次函数y2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是()ABCD【分析】由二次函数yax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴,与一次函数y2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致【解答】解:A、由抛物线可知,a0,b0,c1,对称轴为直线x,由直线可知,a0,b0,直线经过点(,0),故本选项符合题意;B、由抛物线可知,对称轴为直线x,直线不经过点(,0),故本选项不符合题意;C、由抛物线可知,对称轴为直线x,直线不经过点(,0),故本选项不符合题意;D、由抛物线可知,对称轴为直线x,直线不经过点(,0),故本选项不符
11、合题意;故选:A9(2021淄博中考真题)对于任意实数a,抛物线yx2+2ax+a+b与x轴都有公共点,则b的取值范围是 【分析】根据题意得到4a24(a+b)0,求得a2a的最小值,即可得到b的取值范围【解答】解:对于任意实数a,抛物线yx2+2ax+a+b与x轴都有交点,0,则(2a)24(a+b)0,整理得ba2a,a2a(a)2,a2a的最小值为,b,故答案为b10(2021陕西中考真题)某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形,该水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示,D为该水流的最高点,DAOB,垂足为A已知OCOB8m,OA2m,则该水流距水平面的最大高度
12、AD的长度为()A9mB10mC11mD12m【分析】设抛物线解析式为ya(x2)2+k,将点C(0,8)、B(8,0)代入求出a、k的值即可【解答】解:根据题意,设抛物线解析式为ya(x2)2+k,将点C(0,8)、B(8,0)代入,得:,解得,抛物线解析式为y(x2)2+9,所以当x2时,y9,即AD9m,故选:A11(2021北京中考真题)如图,用绳子围成周长为10m的矩形,记矩形的一边长为xm,它的邻边长为ym,矩形的面积为Sm2当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是()A一次函数关系,二次函数关系B反比例函数关系,二次函数关系C一次函数
13、关系,反比例函数关系D反比例函数关系,一次函数关系【分析】矩形的周长为2(x+y)10,可用x来表示y,代入Sxy中,化简即可得到S关于x的函数关系式【解答】解:由题意得,2(x+y)10,x+y5,y5x,即y与x是一次函数关系Sxyx(5x)x2+5x,矩形面积满足的函数关系为Sx2+5x,即满足二次函数关系,故选:A12(2021沈阳中考真题)某超市购进一批单价为8元的生活用品,如果按每件9元出售,那么每天可销售20件经调查发现,这种生活用品的销售单价每提高1元,其销售量相应减少4件,那么将销售价定为 元时,才能使每天所获销售利润最大【分析】根据题意列出二次函数关系式,根据二次函数的性质
14、即可得到结论【解答】解:设销售单价定为x元(x9),每天所获利润为y元,则y204(x9)(x8)4x2+88x4484(x11)2+36,所以将销售定价定为11元时,才能使每天所获销售利润最大,故答案为1113(2021阿坝州中考真题)二次函数yax2+bx+c的图象如图所示,下列说法错误的是()Aa0,b0Bb24ac0C方程ax2+bx+c0的解是x15,x21D不等式ax2+bx+c0的解集是0x5【分析】根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可【解答】解:由图象可知,抛物线开口向下,所以a0;对称轴为直线x2,所以b4a,所以b0,故A正确因为抛物线与x