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1、热点04 反比例函数 反比例函数这个考点在中考数学中,多注重考察反比例函数的图象与性质,常和一次函数的图象结合考察,题型以选择题为主;另外,在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多,而且难度逐渐增大,考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强,复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定,也是常和一次函数结合,顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境,考生在复习过程中需要更加重视该考点。1. 反比例函数的解析式:待定系数法; 反比例函数表达式方面的考察,一是待定系数法直接求反比例函数表达式,二是反比例函数图象上的两个
2、点,坐标都符合函数的表达式,进而得2.反比例函数的图象:没有特殊要求,双曲线必分两支;双曲线的两支有轴对称性,也有中心对称性;反比例函数的增减性不能直接说明;反比例函数图象所过象限与k的正负有关,他们的关系是可逆的,应用时,注意由图象k值时k的正负。另外,在说反比例函数的增减性之前,必须带上自变量的取值范围,不然就是错的。其对称性的考察,主要用在与之结合的几何图形的坐标表示上。3.反比例函数与一次函数:求交点则联立解析式得方程;根据图象直接写不等式的解集则找交点横坐标、分上下、选左右;一次函数与反比例函数经常放一起考察其图象与解析式的求解;反比例与不等式的结合,第一步找出交代的横坐标,第二步根
3、据图象的上下关系选择交点的哪边符合,第三边让自变量x大于或小于交点的横坐标。4.反比例函数与几何图形的结合:当反比例函数与其他图形结合考察时,通常反比例函数只提供其解析式,即反比例函数图象上的点符合反比例函数的解析式,故需要多注意与反比例函数结合的图形的性质应用; 反比例函数在中考中也基本都是直接考察,常考热点包括:反比例函数图象与一次函数图象结合问题、反比例函数的性质及解析式的确定、反比例函数k的几何意义、反比例函数与三角形、四边形等几何图形的相关计算等A卷(建议用时:80分钟)1(2021黔西南州中考真题)对于反比例函数y,下列说法错误的是()A图象经过点(1,5)B图象位于第二、第四象限
4、C当x0时,y随x的增大而减小D当x0时,y随x的增大而增大【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质,可以判断各个选项中的说法是否正确,从而可以解答本题【解答】解:反比例函数y,当x1时,y5,故选项A不符合题意;k5,故该函数图象位于第二、四象限,故选项B不符合题意;当x0,y随x的增大而增大,故选项C符合题意;当x0时,y随x的增大而增大,故选项D不符合题意;故选:C2(2021罗湖区中考真题)一次函数yax+a(a为常数,a0)与反比例函数y(a为常数,a0)在同一平面直角坐标系内的图象大致为()A BC D【分析】分为a0和a0两种情况,然后依据一次函数和反比例函数的图象的性质
5、进行判断即可【解答】解:当a0时,一次函数yax+a,经过一二三象限,反比例函数图象位于一、三象限,当a0时,一次函数yax+a,经过二、三、四象限,反比例函数图象位于二、四象限故选:C3(2021德阳中考真题)下列函数中,y随x增大而增大的是()Ay2xBy2x+3Cy(x0)Dyx2+4x+3(x2)【分析】一次函数当a0时,函数值y总是随自变量x增大而增大,反比例函数当k0时,在每一个象限内,y随自变量x增大而增大,二次函数根据对称轴及开口方向判断增减性【解答】解:A一次函数y2x中的a20,y随x的增大而减小,故不符合题意B一次函数y2x+3中的a20,y随自变量x增大而减小,故不符合
6、题意C反比例函数y(x0)中的k20,在第三象限,y随x的增大而减小,故不符合题意D二次函数yx2+4x+3(x2),对称轴x2,开口向下,当x2时,y随x的增大而增大,故符合题意故选:D4(2021广安中考真题)若点A(3,y1),B(1,y2),C(2,y3)都在反比例函数y(k0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy3y2y1【分析】先根据反比例函数中k0判断出函数图象所在的象限及增减性,再根据各点横坐标的特点即可得出结论【解答】解:反比例函数中k0,函数图象的两个分支分别位于二、四象限,且在每一象限内y随x的增大而增大30,10,点
7、A(3,y1),B(1,y2)位于第二象限,y10,y20,310,0y1y220,点C(2,y3)位于第四象限,y30,y3y1y2故选:A5(2021桂林中考真题)若点A(1,3)在反比例函数y的图象上,则k的值是()A1B2C3D4【分析】将点A(1,3)代入反比例函数y即可求出k的值【解答】解:点A(1,3)在反比例函数y的图象上,k133,故选:C6(2021兰州中考真题)如图,点A在反比例函数y(x0)的图象上,ABx轴于点B,C是OB的中点,连接AO,AC,若AOC的面积为4,则k()A16B12C8D4【分析】由C是OB的中点求AOB的面积,设A(a,b)根据面积公式求ab,最
8、后求k【解答】解:C是OB的中点,AOC的面积为4,AOB的面积为8,设A(a,b)ABx轴于点B,ab16,点A在反比例函数y(x0)的图象上,k16故选:A7(2021西藏中考真题)如图在平面直角坐标系中,AOB的面积为,BA垂直x轴于点A,OB与双曲线y相交于点C,且BC:OC1:2则k的值为()A3BC3D【分析】过C作CDx轴于D,可得DOCAOB,根据相似三角形的性质求出SDOC,由反比例函数系数k的几何意义即可求得k【解答】解:过C作CDx轴于D,BAx轴,CDAB,DOCAOB,()2()2,SAOB,SDOCSAOB,双曲线y在第二象限,k23,故选:A8(2021黑龙江中考
9、真题)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A在双曲线y(x0)上,点C,D在y轴的正半轴上,点E在BC上,CE2BE,连接DE并延长,交x轴于点F,连接CF,则FCD的面积为()A2BC1D【分析】根据题意设出A点和D点的坐标,设OC长度为m,根据CE2BE,得出E点的坐标,再通过证DECDFO,得出比例关系,进而求出FO的长度,利用面积公式求面积刚好能消掉未知数得出面积的具体数值【解答】解:根据题意,设A(n,),D(0,),设OCm,则C(0,m),CDm,B(n,m),BCn,CE2BE,CEBCn,E(n,m),由题知BCFO,DECDFO,DCEDOF,DECDFO,即,FO
10、,SFCDFOCD(m)1,故选:C9(2021宜昌中考真题)某气球内充满了一定质量m的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数:p,能够反映两个变量p和V函数关系的图象是()A BC D【分析】直接利用反比例函数的性质,结合p,V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限,即可得出答案【解答】解:气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数:p(V,p都大于零),能够反映两个变量p和V函数关系的图象是:故选:B10(2021荆门中考真题)在同一平面直角坐标系中,函数ykxk与y(k0)的大致图象是()ABCD【分析】
11、根据k的取值范围,分别讨论k0和k0时的情况,然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案【解答】解:当k0时,一次函数ykxk经过一、三、四象限,函数y(k0)的图象在一、二象限,故选项的图象符合要求当k0时,一次函数ykxk经过一、二、四象限,函数y(k0)的图象经过三、四象限,故选项的图象符合要求故选:B11(2021潍坊中考真题)如图,在直角坐标系中,O为坐标原点,函数y与y(ab0)在第一象限的图象分别为曲线C1,C2,点P为曲线C1上的任意一点,过点P作y轴的垂线交C2于点A,作x轴的垂线交C2于点B,则阴影部分的面积SAOB (结果用a,b表示)【分析】设B(m,),A
12、(,n),则P(m,n),阴影部分的面积SAOB矩形的面积三个直角三角形的面积可得结论【解答】解:设B(m,),A(,n),则P(m,n),点P为曲线C1上的任意一点,mna,阴影部分的面积SAOBmnbb(m)(n)mnb(mnbb+)mnbmn+ba故答案为:a12(2021齐齐哈尔中考真题)如图,点A是反比例函数y(x0)图象上一点,ACx轴于点C且与反比例函数y(x0)的图象交于点B,AB3BC,连接OA,OB若OAB的面积为6,则k1+k2 【分析】由OAB的面积为6,可求出OBC的面积为2,进而求出OAC的面积为8,再根据反比例函数系数k的几何意义可求出k1,k2,进而得出答案【解
13、答】解:SAOBABOC6,SBOCBCOC,AB3BC,SBOC2,SAOC2+68,又|k1|8,|k2|2,k10,k20,k116,k24,k1+k216420,故答案为:2013(2021荆州中考真题)如图,过反比例函数y(k0,x0)图象上的四点P1,P2,P3,P4分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,A2,A3,A4,再过P1,P2,P3,P4分别作y轴,P1A1,P2A2,P3A3的垂线,构造了四个相邻的矩形若这四个矩形的面积从左到右依次为S1,S2,S3,S4,OA1A1A2A2A3A3A4,则S1与S4的数量关系为 【分析】过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值,Sk,由OA1A1A2A2A3A3A4,得出S1k,S2k,S3k,S4k,即可得出S14S4【解答】解:过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值,OA1A1A2A2A3A3A4,S1k,S2k,S3k,S4k,S14S4故答案为:S14S414(2021益阳中考真题)如图,已知点A是一次函数y2x4的图象与x轴的交点,将点A向上平移2个单位后所得点B在某反