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1、福建农林大学计算机与信息学院（数学类课程）课程实习报告课程名称：运筹学课程论文题目:系统的可靠性分析姓名：黄明清系：应用数学专业：数学与应用数学年级：2009学号：091153033指导教师：尤添革职称：副教授2011年12月1日系统的可靠性分析摘要：众所周知，系统不可能是完美的，总是会存在一定的不足，所以我们就不断地完 善这个不足，从而提高这个系统的可靠性。通常一个系统的可靠性是受很多的因素影响 的，本文章就是将问题理想化，假设了影响系统可靠性的因索只有两个，通过建立数学 模型，运用运筹学中的动态规划的思想來解决问题。当然，还对模型推广了，当影响可 靠性的因素增加了，那么还是可以利用这个理论
2、去解决，可以利用数学中的降维的方法 化为二维的方法求解，这样的方法对我们的实际生活是很有用的。所以通过这个项冃， 我学会了数学领域与管理学领域的综合，这样对我的知识以及对付实际问题的能力有了 更大的提升。本文主要研究了复合系统工作可靠性分析的问题，根据串联系统可靠性的 概率值和备用元件的重量双重约束，建立二维的线性整数规划模型，并且运用运筹学中 动态规划思想去求问题的解。关键词：动态规划；可靠性;LINGO1问题的提出若某种机器的工作系统由个部件串联组成，只要有一个部件失灵，整个系统就不能工 作。为提高系统工作的可靠性，在每一个部件上均装有主要元件的备用件，并且设计了 备用件自动投入装置。显然
3、备用元件越多，整个系统正常工作的可靠性越人。但备用元 件多了，整个系统的成本、重量、体积均相应加大，工作精度也降低。因此，最优化问 题是在考虑上述限制条件下，应如何选择齐部件的备用元件数，使得整个系统的工作可 靠性最大。假设某系统由3个工作部件4、B、C串联而成，3个部件的工作是相互独立 的。以下表1是各部件的故障率，以及增加备用件的单价，如何配置才能使得系统的效 率最高。表ABC故障率0.30.20.4部件单价（万元）2312问题分析设部件迫=1,2,上装有个备用元件时，它正常工作的概率为门忆）。因此整 个系统正常工作的可靠性，可用它正常工作的概率来衡量，即防11必忆）日 （1） 设装一个部
4、件i的费用为q,重量为叱，要求总费用不超过C,总重量不超过W,则这 个问题的静态规划模型为Max p - 口必忆）/=1s.t.工 g O,gZ+（2）这是一个整数规划问题，因佥要求为整数，且目标函数是非线性的，所以该问题屈于非 线性整数规划问题。而此类问题是较为复杂的问题，但是采用动态规划求解较为方便。 3模型建立为利用动态规划求解规划问题，就要构造动态规划模型,根据总费用与总重量这两个 约束条件,就可取二维状态变量，采用两个状态变量符号林，儿来表达，其中 兀表示由第到H个部件所容许使用的总费用；儿表示由第R到刃个部件所容许使用的总重量。决策变量你为部件k上装的备用元件数，这里的决策变量是一
5、维的。 这样，状态转移方程为：耳+1 =xkukckyk+x =儿一你叭允许决策集合为Dk (xk ,yk) = uk :0 uk min( / ck,yk / 叫)最优值函数办（忑，儿）为状态无和片出发,从部件k到斤的系统的最大可靠性。因此，整个系统的动态规划基木方程为:皿5）瞪川g）几3 -,儿-叽）k = n.n 一 1，2,1(5)人+1(+1，儿+J = 1边界条件为1,这是由于兀曲*均为零,转置根本不工作,故可靠性当然为1。最后计 算得到的/.（c 3V）即为所求系统的最大可靠性。4模型求解由上面的数据可以知道这个具体实例的一些关于动态规划的基本概念以及参数。（1）阶段数，这个案例
6、可划分为3个决策阶段，第1阶段对配备部件人做出决策，第2阶段对配备部件B做出决策，第3阶段对配备部件C做出决策，故n = 3o（2）状态变量*,表示第k阶段可用來购买部件的金额。（3）决策变量绰，表示第阶段配备部件数；q表示阶段部件的单价，q=2,c2 = 3,c3 = 1 ；仇为阶段单个部件的故障率，P =0.3丿2 - 2p3 = 0.4 o因为冃标是使得系统正常工作概率最大，所以直接指标取各阶段配备协个部件时正常匸作概率是d（pk,uk） = -（pk）Uk o（4）状态转移方程，Sg=Sk -ckuk o（5）递推方程。设式了中Vg,uJ具有递推关系% （必,妆）（从,绰）%+i（昭，
7、%i） 叫（$4, “4）=1，=10于是利用逆序求法可知，当R=3时，由式了（6）、（7）可得八)= max J(p3,w3)辟,1-(计Z/3Z(8)u.1,由状态转移方程得到153=52-C2W2,所以有1 S S , w Z（9）于是由式子（6）、（7）、（9）可得max”乍w Zmax（2川2）厶6） =max1咨wZd（2，%2）厶（$2一。2凤2）2eZ（1一（02严）厶（心一3弘2）(10)因为部件B和部件C至少齐配备一个，所以状态变量归不得小于4,且部件A也至少配A (4)lu2| ueZ备一个，所以归也不会大于8。于是对式了（10）分别用$2=4,5,6,7,8带入，计算厶
8、（$2） 的值。max( l(l-(p2D 厶(4 3“2) = (1 0.2)厶(1) 41T= 0.8(1-0.4) = 0.48,m*(4) = 1心5)= max f(l-(p2)tt2) (5-3w2) = (1-0.2)人(2)十u2Z= 0.8(1 0.牢)= 0.672,心(5) = 1max, 1(1-(p7p)人(6 3禺) = (1 0.2)厶 6-1V,2=lu24,所以4“2 = c冋,所以(11)于是由式了（6）、（7）、（11）可得到饷）npxd(M)f2(s2)=W|GZmax d(0,uj f2(sx-c+1(12)久(10)=max(52)= max(1 -
9、(p()W|) .(10-2u)10-4=max （1一（刃）旳）伽一卬勺） iW1 亡quxgZ因为用于购买部件的金额为10万元，即=10,所以= max(l-0.3)乙,(1-Op 力,(1-0.3?)乙= max(l-0.3) 0.8064,(1-0.32) 0.7488,(1-O.33) 0.48 = 0.68140&u；(10) = 25结果分析由上述的计算可以可得町=2,即应该配备部件A为2个；由状态转移方程可得 $2=耳-恥：=10-2x2=6,从而可从乙得出広=1,即应该配备部件B为1个;再由 状态转移方程可得*=6-皿；=6-3x1=3,所以比；=$；=3,即应该配备部件C为
10、3个。 故最佳决策/ =(2,1,3),整个系统的可靠性为/.Cv,) = 0.681408,达到最大。6模型检验由于上述的动态计算也是可以利用数学软件UNGO去求解，于是可以通过编程求 解，求解的程序如下。sets :part/A,Bz C/:c,p,x;endsetsdata :c=2 3 1;b=l 0;p=03 0.2 04;enddatamax=prod(part:l-pAx);0sum(part:c*x)=b;for (part:gin(x);求解结果为Local optimal solution found.Objective value:0.6814080Extended so
11、lver steps:7Total solver iterations:338VariableValueReduced CostB10.000000.000000C( A)2.0000000.000000C( B)3.0000000.000000C( C)1.0000000.000000P( A)0.30000000.000000P( B)0.20000000.000000P( C)0.40000000.000000X( A)2.0000000.4245478E-02X( B)1.000000-0.1460949X( C)3.0000000.000000RowSlack or SurplusD
12、ual Price10.68140801.000000结果分析：由求解结果可得知部件A应并联配备2个元件，部件B应并联配备1个元件,部件C应并联配备3个元件，这样整个系统的串联的可靠性达到最大，为0.681408,所 以通过这个检验可知，原模型的计算是可行的。参考文献11谢金星.优化建模与LINDO/L1NGO软件.北京:清华大学出版社,2005. 张杰等.运筹学模型与实验.北京:中国电力出版社,2007.运筹学教材编写组.运筹学.北京：清华大学出版社，20074段东立，武小悦，邓宏钟.基于时变故障率与服务恢复时间模型的配电系统可靠性评估.小国电 机工程学报.2011, 31 (28), -57-64
