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1、高考数学热点问题和解题策略数学高考坚持以“两个有利”（有利高校选拔新生、有利 小学教学）为指导思想，严格遵循考试说明”的规定，内 容上不超纲，能力上不超规定层次（了解、理解和掌握、灵 活和综合运用），在考查三基（基础知识、基本技能、基本 技巧）和四种能力（逻辑思维能力、运算能力、空间想象能 力、分析和解决问题的能力）的同时，侧重考查教材中的主 要内容、数学思想方法和应用意识，特别是突出考查数学学 科的思维能力。函数平均每年占高考总分的13.8%,考查的知识背景为 幕、指、对及一般函数的概念、定义域、值域、反函数；函 数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图像等。三角函数平均每年占高考总
2、分的12.6%,考查的知识背景 是三角函数的概念、性质、以及有关公式的应用，以常规题 居多。解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2%,考查的知识背景为不等式的性质、定理；立儿、数列中的最值问题以 及解几中的范围问题。数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8%, 考查的知识背景为等斧（比）数列的概念与计算公式；数列、 极限的概念与求法。线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8%,考查的 知识背景为线面间的平行、垂直性质与判肚及有关概念。每 年均为阅读理解型试题。圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7%,考查的知识背景 为圆锥曲线的定义、性质及解几中的基本数学思想方法。1993年1
3、999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年 考到，常用的数学思想方法考查的频率明显提高，探索性能 力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解 能力多题渗透。今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5 题，每题4分，6-14题每题5分，但适当降低最后2-3题的 难度，控制语言的抽象水平。填空题保持1997-1999年水平, 共4个题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为 主，且计算量仍不会加大。相比99年高考，2000高考将适 当降低试卷的难度，进一步加强对思维能力考查。进一步注重通性通法的考查，继续突出主体内容（函数、 方程.不等式.数列和圆锥曲线等），淡化某些不宜
4、升温的 知识（递推数列、复数和立体几何等），做好向新高中教材 过渡的准备。应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译为数学语言的难度，既注意贴近生活，又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如数列综合题 仍以归纳猜想为主要形式。应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数 学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为 三个要点：1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有 用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验。2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕 捉信息，将普通语言转化为数学语
5、言，以数学语言为工具进 行数学思维与交流。3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明” 所规能的数学知识和方法来求解。对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学 问题的能力上。实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读 能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，耍 求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从 背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字 语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解 答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关， 即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把 文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构
6、建相应 的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理 能力。求解应用题的一般步骤是（四步法）：1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关 系；2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题;3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最 后将结果应用于现实，作出解释或验证。在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型: 数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模 型等等。I、再性性题组：1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分 裂为两个），经过3小吋，这种细菌由1个可繁殖成o（94年全国高考）
7、A. 511 个 B. 512 个 C. II1023 个 D. 1024 个2如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平 行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L,这块场地的长为时，场地面积最大，最大面积是O（82年全国高考）3. 圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是 o （93年全国高考）A. （） B. 1 （）5C.（彳）5D 2（-）3 Ji44. 在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120 ,若要光 源恰好照亮整个广场，则其高度应为o （精确到0. Im）（93年全国高考）5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，
8、甲公司承包3 项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有种承包方式。（86年全国咼考） 【简解】1小题：答案B；2小题：设长x, S=xX最大面积；3 小题：V= ji 严上也=jt r2 (I 2r) W Ji ()3,3选A；4 小题：|t| = tg60 得 h=10V3 17. 3；h5 小题：C；C；C： = 1680。II、示范性题组：例1某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比 现有增加22%,人均粮食产量比现在提高10%,如果人口 年增长率为1%,那么耕地每年至多只能减少多少公顷(精 确到1公顷)？(96年全国高考)(粮食单产=总产量耕地面积人均粮食产量二冷)【分
9、析】此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景, 给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进 行比较与决策。【解】1读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食 占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量p=粮食单产X耕地而积总人口数主要关系是：P实际2P规划。2建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为Q吨/公顷，现在人口数为m,则现在占有量为沁,m10年后粮食单产为a(l + 0. 22),人口数为m(1 + 0.01),耕 地面积为(104 10x) o(1+0. 1 )a(l + 0.22)(l(/-10兀) ax 加(1 + 0.01)x m-即 1.22
10、(104-10x) 1. 1X1O4X (1 + 0.01) 103求解：x103-X103X (1+0.01) 101.22(1+0.01) ,0 = 1+C；0XO. 01+C?oX0. 012+C?oX 0. 01+l. 1046 xWICP995.9心4 (公顷)4. 评价：答案xW4公顷符合控制耕地减少的国情，又验 算无破，故可作答。(答略)【另解】1.读题：粮食总产量=单产X耕地面积； 粮食 总占有量=人均占有量X总人口数；而主要关系是：粮食总产量2粮食总占有量2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食 单产为a吨/公顷，现在人口数为m,贝现在占有量为竺竺, m10年后粮食单产为a(l + 0. 22),人口数为m(1+0.01)%耕 地面积为(104 10x) o a(l+0. 22) X (104-10x)(1 + 0. 1) Xm(l +m0.01)103求解：x0）的单调性而得：当吾c时，则时，y取最小值；当招吋，则v = c吋，y取最小值。综上所述，为使全程成本y最小，当店时，行驶速度 应为v =年；当年三c时，行驶速度应v = c。【注】对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后 运用解（证）不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其 中耍特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一 旦忽
