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1、离散型随机变量的分布列一、知识梳理1 随机变暈的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母&等表示.(1) 离散型随机变量.如果对于随机变量可能収的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散 型随机变量.(2) 若是随机变量,q =+ 其中a,b是常数，则也是随机变量.2. 离散型随机变量的分布列概率分布份布列).设离散型随机变量g可能取的值为坷,勺,f取每一个值兀(心1,2,)的概率p = xj = 则称表兀2 PPlPl Pi 为随机变量&的概率分布，简称E的分布列.(2)二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在次独立重复
2、试验中这个事件恰好发生k次的概率是PH = C：卢(严.其中k = 0,1,2,，彼g = l-p,于是得到随机变量4的概率分布如下:c01 k npCnpqnCnpq11-1 Cknpkqnk CRq我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B(n, p),其中仏p为参数，并记C： /qi = B(k,n, p).二、点击双基1抛掷两颗骰子，所得点数之和为E，那么g =4表示的随机试验结果是(D )A.颗是3点，一颗是1点B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点2. 设4是一个离散型随机变量,其分布列为：g101P0.5l-2q2 q则 q=(D )A.13. 己知
3、随机变量E的分布列为=灯=丄, = 1,2,，则P(24)=(A)T16B.-1C.16D.4某批数量较大的漓品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件，其中次品数C的分布列为二项分布，即2 B(5,0),的分布列如下:g012345p0.950.5X0.940.1 X 0.930.01 X0.924.5X0.140.155.某射手有5发子弹，射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，则耗用子弹数 的分布列为.解析：可以取1,2,3,4,5,P( g =1 )=0.9,P( g =2)=0X0.9=0.09,P( g =3)=0.12X0.9=0.009,P( g
4、 =4)=0.13X0.9=0.000 9,P( g =5)=0.14=0.0001.分布列为g12345P0.90.090.0090.000 90.000 1例题分析：【例1】一袋中装有5只球，编号为1, 2, 3, 4, 5,在袋中同时取3只，以g表示取出的三只球中的最小号 码，写出随机变量的分布列.解:随机变量E的可能取值为1，2, 3.当二1吋，即取出的三只球中最小号码为1,则其他两只球只能在编号为2, 3, 4, 5的四只球中任取两只，故有p (“当22时，即取出的三只球中最小号码为2,则其他两只球只能在编号为3, 4, 5的三只球中任取两只,C2 3故有当 =3时，即取出的三只球中
5、最小号码为3,则其他两只球只能在编号为4, 5的两只球中任取两只，故有 P （ 二3） = =丄.C； 10因此，2的分布列如下表所示:g123331P51010讲评:求随机变量的分布列，重要的基础是概率的计算，如古典概率、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的 概率、n次独立重复试验有k次发生的概率等.本题中基本事件总数，即n=C35,取每一个球的概率都属古典概率(等 可能性事件的概率).1 2【例2】甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为一,乙每次击中目标的概率为一.2 3(1) 记甲击中目标的次数为C，求的概率分布及数学期望E g ;(2) 求乙至多击中目标2次的概率；求甲恰好
6、比乙多击中目标2次的概率.剖析:甲射击有击中目标与击不中目标两个结果，且3次射击是3次独立重复试验，B(3,丄).(2) “乙至多2击中目标2次”的对立事件是“乙击中目标3次” .(3) “甲恰好比乙多击中目标2次”即“甲击中2次乙没击中 目标或甲击中目标3次乙击中1次”.1 1131311解:(1)P( E =0)=C3(-)3=- ; P( =l)=C13(-)3=-； p( g =2)=C23(-)3=- ; P( g =3)=C33(-)3=-.2 8282828C的概率分布如下表：g0123D1331r8888*),22 19(2) 乙至多击中目标2次的概率为l-C33(-)3=3
7、27(3) 设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B“甲恰好击一一一311中目标3次且乙恰好击中日标1次为爭件B?,则A=B+B2,B、B2为互斥爭件,/. P(A)=P(B|)+P(B2)= X X827 82_J_924 甲恰好比乙多击中目标2次的概率为丄.24讲评:求离散型随机变量的概率分布的步骤为:找出随机变量的所有可能的值Xi(i=l,2,);求出各值的概率 P( C =Xi)=pj；(3)列成表格.【例3】(2005广东高考)箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s：t.现从箱中 每次任意取出一个球，若取出的是黄球
8、则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球, 但取球的次数最多不超过n次以C表示取球结朿时已取到白球的次数.(1) 求的分布列；(2) 求E的数学期望.解:(1) 的可能取值为0,1,2,n.E的分布列为g012 n-1nPss+rstst2 tn(S + /)3(s + f)(S + t)n(2) 的数学期望为E“0X 上一+1XJ +2X+(nl)X+nX.$ + / (s + t)2(5 + r)3G + D G + 0t st , 2sf .2)s 严刃严$ + /(5 + r)3 (s + r)4(s + ty (s + on+1 (s + t)n+ *-，得
9、 EC=-+-nt+.S $G +旷($ + /) s(s + f)讲评:本题是几何分布问题，其中用到数列的错位相减法求和，注意运算的严谨性.习题精练：1袋中有大小相同的5个球，分别标有123,4,5五个号码，现在在有放回抽収的条件下依次収出两个球，设两个球号 码之和为随机变量J则所有可能取值的个数是()A.5B.9C0D.25解析:号码之和可能为2,3,4,5,6,7,&9,10,共9种.答案:B2. 袋中有5个白球,3个红球，现从袋中往外収球，每次任収一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止,设停止时共取了 2次球，则P ( 2 =12)等于()A.C叫2(-)2 B.C9h (-)
10、(丄)2.0 c.C9n (-) 9-(-) 2 D.C9h (-) 9-(-) 2_ 8 8 8 8 8 8 8 8 83 53解析:P(C=12)表示第12次为红球，前11次中有9次为红球，从而P ( C=12) =C9n - (-)9(-)2X-.8 88答案:B3. 现有一大批种子，其中优质良种占30%,从中任取5粒，记2为5粒中的优质良种粒数，则的分布列是解析:4 B(5,0.3), C 的分布列是 P ( 4 =k)=Ck50.3k0.75k,k=0,l,-,5.答案:P ( C=k) =Ck50.3k0.75k=0J,-54. (2005全国高考卷III,理)设1为平面上过点(0
11、,1)的直线,1的斜率等可能地取-2V2,-V3r A ,V3,2V2, 2 2用表示坐标原点到1的距离，则随机变量E的数学期望E g =.解析：当1的斜率为2血 时，直线方程为2 a/2 x-y+l=0,此时di= ;k= V3时,d2二土；k= 3222时如捫。时,dm由等可能事件的概率可得分布列如下:g1312231P22217777E = X + X 4 X H X 1 =.37 27 37 774答案：-75. 某射手对目标进行射击，直到第一次命中或将子弹打光为止,每次命川率为0.6,现共有子弹4颗，命川后尚剩余子弹数目E的数学期望是.解析：P( C =0)=0.4P( C =l)=
12、0.42X 0.6=0.096,P( C =2)=04 X 0.6=0.24,P( C =3)二0.6, E g =0.096+0.24 X 2+0.6 X 3=2.376.6. (2004天津，理)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量表示所选3人中女生的人数.求(1) C的分布列；(2) 2的数学期望；“所选3人中女生人数的概率.解：(1)的可能収值为0, 1, 2.ck c3kP ( g 二k)=-,k=0,l,2.C： g的分布列为g012P131555(2)由(1),可知131E =0 X +1 X 2 X = 1.555(3) “所选3人中女生人数 W1”的概率为4
13、P ( g Wl) =P ( g=0) +P(C=1)=-.7. (2005湖南高考)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6,且客 人是否游览哪个景点互不影响.设g表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(1) 求g的分布列及数学期望；(2) 记“函数f(x)=x2-3 4 x+1在区间2,+8)上单调递增”为事件A,求事件A的概率.(1)解：分别设“客人游览甲景点” “客人游览乙景点” “客人游览丙景点”为事件A|、A2、A3.由已知A|、A2、A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0、1、2、3,相应地，客人没有游览的景点数的可能収值为3、2、1、0,所以 g的可能取值为1、3.P( C =3)=P(A| A2 A3)+P( 码 令)=P(Ai)P(A2)P(A3)+P( Ay )P( A2 )P( A3) =2X0.4X0.5X0.6=0.24,P( C =1)=1-0.24=0.76. 所以C的分布列为g13p0.760.24=1X0.76+3X0.24二 1.4 &(2)解池的可能取值为1、3.当C =
