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1、第三节第三节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 极限存在准则极限存在准则 夹逼准则夹逼准则 单调有界数列单调有界数列 必有极限必有极限 柯西极限存在准则柯西极限存在准则 推出推出 推出推出 重要极限重要极限: 重要极限重要极限: 应应 用用 1一、极限存在准则及重要极限一、极限存在准则及重要极限一、极限存在准则及重要极限一、极限存在准则及重要极限 1.1.极限存在准则极限存在准则 夹逼准则夹逼准则夹逼准则夹逼准则 （夹逼定理）（夹逼定理）（夹逼定理）（夹逼定理） 准则准则1：如果数列如果数列若若2 准则准则2 单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。
2、单调有界数列必有极限。 . . . .A .M 收敛的数列一定有界，收敛的数列一定有界， 但有界的数列不一定收敛。但有界的数列不一定收敛。如果数列如果数列不仅有界，而且单调不仅有界，而且单调，那么该数列的极限一定那么该数列的极限一定存在，存在， 即该即该数列一定收敛数列一定收敛。32.2.两个重要极限两个重要极限 变形变形 4例题例题例题例题 1.1.用夹逼准则用夹逼准则 （夹逼定理）证明或求极限（夹逼定理）证明或求极限 例例1：解：解：56例例2 2 用夹逼准则证明：用夹逼准则证明： oABCDx证：证：789例例3 3 设设 求求 可以作为已知可以作为已知 极限的极限极限的极限 解：解：
3、则有则有 设设 而而 由夹逼定理由夹逼定理 分析：分析：分析：分析： 设设 102.2.用极限存在准则用极限存在准则2 2，证明并求函数的极限，证明并求函数的极限 例例4 4 设设 （1）证明：数列）证明：数列 单调减少且有下界；单调减少且有下界； （2）求）求 证明：证明： （1）显然显然 由于由于 数列数列 有下界；有下界； 又因为又因为 单调减少。单调减少。 数列数列 （2）由（由（1）知，数列的极限必然存在，设）知，数列的极限必然存在，设 则则 即即解得解得 （舍去）。（舍去）。 11例例5 5 设设 证明数列证明数列 有极限，有极限， 并求并求 证明：证明： 用数学归纳法证明数列用数
4、学归纳法证明数列 单调递减。单调递减。 因为因为设当设当 时，时， 由于由于 得到得到 时，时， 由此可知由此可知 单调递减。单调递减。 即即 都有都有 所以所以 有极限。有极限。 不妨设不妨设 则则 解得解得 （舍去）（舍去） 显然有显然有 即即 有下界。有下界。 12解解例例6： 解：解：例例7： 3.3.两个重要极限的应用两个重要极限的应用 例例8： 解：解：可作为公式可作为公式可作为公式可作为公式13例例9： 解：解：由于由于 令令 由复合函数求极限的法则：由复合函数求极限的法则： 如如 可作为公式可作为公式可作为公式可作为公式14令令则则例例10：解：解：另解：另解： 15例例11
5、解：解：令令 则则 且当且当 时，时， 另解：另解： 16例例12 解：解：17二、无穷小的比较二、无穷小的比较 无穷小无穷小 高阶无穷小高阶无穷小 同阶无穷小同阶无穷小 低阶无穷小低阶无穷小 等价等价 无穷小无穷小 等价无穷小等价无穷小 的充要条件的充要条件 等价无穷小等价无穷小 的替换的替换 特例特例 18两个无穷小比的极限不同，反映了不同无穷小两个无穷小比的极限不同，反映了不同无穷小趋于零的趋于零的“快慢快慢”程度程度基本理论基本理论基本理论基本理论 191.定义：定义：20证：证：定理定理1：证：证：3.等价无穷小的替换定理等价无穷小的替换定理 2.等价无穷小的充要条件等价无穷小的充要
6、条件 21例题例题例题例题 1.1.确定无穷小的阶确定无穷小的阶 例例1 当当 时，下列函数分别为时，下列函数分别为 的几阶无穷小？的几阶无穷小？ 解：解： 所以所以 的的2阶无穷小。阶无穷小。 是是 所以所以 的同阶无穷小。的同阶无穷小。 是是 22所以所以 的的2阶无穷小。阶无穷小。 是是 所以所以 的的2阶无穷小。阶无穷小。 是是 确定无穷小的阶这类问题的一般方法是：确定无穷小的阶这类问题的一般方法是： （1）通过求极限的方法来确定无穷小的阶；）通过求极限的方法来确定无穷小的阶； （2）利用无穷小的替换。）利用无穷小的替换。23例例2 当当 时，时， 是等价无穷小，则是等价无穷小，则 k
7、 = ？ 。（2005年研究生入学试题年研究生入学试题,数学二）数学二）解解 24例例3：解：解：2.2.利用无穷小的替换定理求极限利用无穷小的替换定理求极限 例例4：解：解：25解：解：例例5：（2005年研究生入学试题年研究生入学试题,数学三）数学三）注：注：注：注：熟练运用经常用到的等价无穷小的替换熟练运用经常用到的等价无穷小的替换 当当 时，时， 26例例6：解：解：例例7：解：解：27?注：注：注：注：利用无穷小的替换求极限，须注意以下问题：利用无穷小的替换求极限，须注意以下问题：利用无穷小的替换求极限，须注意以下问题：利用无穷小的替换求极限，须注意以下问题： （1）一般只适用于求极限函数中的乘积因子。）一般只适用于求极限函数中的乘积因子。（2）如果极限中出现加减时，则设法把它们转化为乘除的）如果极限中出现加减时，则设法把它们转化为乘除的形式。形式。28
