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1、第三节不等关系与一元二次不等式学习要求:1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,并会解一元二次不等式.1.两个实数比较大小的依据(1)a-b0ab.(2)a-b=0a=b.(3)a-b0abbb,bcac.(3)可加性:aba+cb+c;ab,cd a+cb+d .(4)可乘性:ab,c0 acbc ;ab,c0acb0,cd0acbd.(5)可乘方性:ab0anbn(nN,n1).(6)可开方性:ab0nanb(nN,n2).3.
2、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式=b2-4ac0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x10(a0)的解集 x|xx2 xx-b2aR ax2+bx+c0)的解集 x|x1xb,ab01a1b.(2)a0b1ab0,0cbd.(4)0axb或axb01b1x0(0(0(0(0对任意实数x恒成立a=b=0,c0或a0,0.(2)不等式ax2+bx+c0对任意实数x恒成立a=b=0,c0或a0,bac2bc2.()(2)a=bac=bc.()(3)若不等式ax2+bx+c0.()(4)若方程ax2+bx+c=0(a0(a0)的解
3、集为R.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教B版必修第一册P71练习BT1改编)已知集合A=x|x2-5x+40,B=x|x2-x-6b0,cd0B.ac-bdbcD.ad5.(易错题)对于任意实数x,不等式mx2+mx-1b0,m0,则() A.ba=b+ma+mB.bab+ma+mC.bab0,m0,所以b-a0,所以m(b-a)a(a+m)0,即ba-b+ma+m0,所以ba0,b=ln220,所以ab=ln332ln2=2ln33ln2=ln9ln8=log891,所以ab.名师点评比较大小常用的方法提醒用作差法比较大小的关键是对差式进行变形,常用的变形有通分、因式分解、配
4、方等.1.若a,b0,+),A=a+b,B=a+b,则A,B的大小关系是()A.ABB.ABC.AB答案B由题意得,B2-A2=-2ab0,又A0,B0,所以AB.2.比较a2b+b2a与a+b(a0,b0)两个代数式的大小.解析a2b+b2a-(a+b)=a3+b3-a2b-ab2ab=a2(a-b)+b2(b-a)ab=(a-b)(a2-b2)ab=(a-b)2(a+b)ab.因为a0,b0,所以(a-b)2(a+b)ab0,故a2b+b2aa+b.不等式性质的应用1.(2020沈阳调研)若实数x,y满足xy,则下列不等式成立的是() A.yx1 B.2-x0D.x2y2答案B由xy,得-
5、x-y,所以2-xyz,x+y+z=0,则下列不等式不成立的是()A.xyyzB.xyxzC.xzyzD.x|y|y|z答案ACD因为xyz,x+y+z=0,所以x0,zz,若y0,则xy0z,x0,所以xyxz,故B正确;对于C,因为xy,z0,所以xzb”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C充分性:当ab0时,不等式a|a|b|b|等价为aabb,此时成立.当0ab时,不等式a|a|b|b|等价为-aa-bb,即a2b时,不等式a|a|b|b|等价为aa-bb,即a2-b2,此时成立.故充分性成立;必要性:当a0,b0时
6、,a|a|b|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)0,因为a+b0,所以a-b0,即ab.当a0,bb.当a0,bb|b|去掉绝对值得,(a-b)(a+b)0,因为a+b0,即ab,故必要性成立.综上可得,“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件.名师点评判断不等式是否成立的三种方法(1)直接利用不等式的性质逐个验证;(2)利用特殊值法排除错误选项,利用不等式的性质判断不等式是否成立时,要特别注意前提条件;(3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.一元二次不等式的解法角度一不含参数的一元二次不等式典例2(1)(20
7、20江西模拟)已知集合A=x|x2-4x0,B=x|y=log2(2-x),则AB=() A.x|0x2B.x|x2C.x|0x4D.x|x4(2)(2020黑龙江大庆一中模拟)已知集合A=x|-3x3,B=xN*|x2-2x-80=x|x2,所以AB=x|0x2.(2)因为B=xN*|x2-2x-80=xN*|(x-4)(x+2)0=xN*|-2x4=1,2,3,所以AB=x|-3x0时,原不等式可化为x-2a(x+1)0,解得x2a或x-1.当a-1,即a-2时,解得-1x2a;当2a=-1,即a=-2时,解得x=-1;当2a-1,即-2a0时,不等式的解集为xx2a或x-1;当-2a0时
8、,不等式的解集为x2ax-1;当a=-2时,不等式的解集为-1;当a2,B=x|x2-2x-30,则AB=()A.(3,+)B.(-,-1)(3,+)C.(2,+)D.(2,3)答案AB=x|x2-2x-30=(-,-1)(3,+),A=x|x2,故AB=(3,+).2.解不等式ax2-(a+1)x+10).解析原不等式变形为(ax-1)(x-1)0,所以ax-1a(x-1)1,即1a1时,解得1ax1;当a=1时,无解;当0a1时,解得1x1a.综上,当0a1时,不等式的解集为x1x1时,不等式的解集为x|1ax1.一元二次不等式恒成立问题角度一在R上恒成立问题典例4(2020大庆实验中学期中)若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-40对于任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是() A.(-,2)B.(-,2C.(-2,2)D.(-2,2答案D当a-2=0,即a=2时,-40恒成立;当a-20,即a2时,有a-20,=-2(a-2)2
