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1、第20练空间向量的应用一、选择题 1. (多选题)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,其中正确的是()A.ABACB.ABDCC.BDACD.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直答案BC如图,以D为坐标原点,DB,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设折叠前的等腰直角三角形ABC的斜边BC=2,则D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),则AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),DC=(0,1,0),BD=(-1,0,0).从而有ABAC
2、=0+0+1=10,故A错误;ABDC=0,故B正确;BDAC=0,故C正确;易知平面ADC的一个法向量为BD=(-1,0,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则ABn=0,ACn=0,即x-z=0,y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),则BDn=-1,故D错误.2.在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PA=2,BC=2AB=4,且四边形ABCD是矩形,E是PD的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值是()A.-618B.618C.-26D.26答案B根据题意建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),E(0
3、,2,1),所以BE=(-2,2,1),PC=(2,4,-2),则异面直线BE与PC所成角的余弦值为BEPC|BE|PC|=618.3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=2a3,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内答案B建立如图所示的空间直角坐标系,因为A1M=AN=2a3,所以Ma,2a3,a3,N2a3,2a3,a,所以MN=-a3,0,2a3.因为C1D1平面BB1C1C,所以C1D1=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量. 因为MNC1D1=0,所以MNC1
4、D1,又MN 平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若F,G分别是棱AB,CC1的中点,则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于()A.23B.54C.33D.36答案D如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,平面A1ACC1的法向量为n,则n=(-1,1,0).F12,0,0,G1,1,12,FG=12,1,12.设直线FG与平面A1ACC1所成的角为,则sin =|cos|=|nFG|n|FG|=12262=36.5.如图,点P为矩形ABCD所在平面外一点,PA平面A
5、BCD,Q为AP的中点,AB=3,BC=4,PA=2,则点P到平面BQD的距离为()A.513B.1213C.135 D.1312答案B如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(3,0,0),D(0,4,0),P(0,0,2),Q(0,0,1),则QB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0),QP=(0,0,1).设平面BQD的法向量为n=(x,y,z),则nBD=0,nQB=0,即-3x+4y=0,3x-z=0,令x=4,则y=3,z=12,n=(4,3,12).点P到平面BQD的距离d=|QPn|n|=1213.6.如图,正方体ABCD
6、-A1B1C1D1的棱长为1,中心为O,BF=12BC ,A1E=14A1A,则四面体OEBF的体积为()A.112B.124C.148D.196答案D以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则O12,12,12,B(1,1,0),E1,0,34,F12,1,0,OE=12,-12,14,OB=12,12,-12,则|OE|=34,|OB|=32,cosBOE=OBOE|OB|OE|=1212+12-12-12143234=-39.BOE2,sinBOE=789.SOEB=12|OB|OE|sinBOE=2616.设平面OEB的法向量为n=(x,y,
7、z),则nOE=12x-12y+14z=0,nOB=12x+12y-12z=0, 取z=1,得n=14,34,1.又BF=-12,0,0,F到平面OEB的距离d=|nBF|n|=2652,四面体OEBF的体积V=1326162652=196.7.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E、O分别是A1B1、A1C1的中点,P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AA1,则下列说法正确的是()A.点A到直线BE的距离是55B.点O到平面ABC1D1的距离为24C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33D.点P到直线AB的距离为2536答案BC如图,以A为原点,A
8、B,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,所以BA=(-1,0,0),BE=-12,0,1.设ABE=,则cos =|BABE|BA|BE|=55,则sin =1-cos 2=255.故点A到直线BE的距离d1=|BA|sin =1255=255,故A中说法错误.易知C1O=12C1A1=-12,-12,0,平面ABC1D1的一个法向量为DA1=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2=|DA1C1O|DA1|=122=24,故
9、B中说法正确.A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则nA1B=0,nA1D=0,所以x-z=0,y-z=0,令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).所以点D1到平面A1BD的距离d3=|A1D1n|n|=13=33.易知平面A1BD平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C中说法正确.因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,又AB=(1,0,0),则|APAB|AB|=3
10、4,所以点P到AB的距离d4=|AP|2-APAB|AB|2=181144-916=56,故D中说法错误.二、填空题8.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的平面A1B1C1D1上一点,则PAPC1的取值范围是.答案-12,0解析以点D为原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,DD1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则点A(1,0,0),C1(0,1,1).设点P的坐标为(x,y,z),由题意可得 0x1,0y1,z=1,PA=(1-x,-y,-1),PC1=(-x,1-y,0),PAPC1=-x(1-x)-y(1-y)+0=x2-x+y2-y=x-122+
11、y-122-12,由二次函数的性质可得,当x=y=12时,PAPC1取得最小值-12;当x=0或x=1,且y=0或y=1时,PAPC1取得最大值0,则PAPC1的取值范围是-12,0.9.在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图,已知在鳖臑P-ABC中,PA平面ABC,PA=AB=BC=2,M为PC的中点,则点P到平面MAB的距离为.答案2解析以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴,y轴,过点B且平行于PA的直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,则B(0,0,0),A(2,0,0),P(2,0,2),C(0,2,0),由M为PC的中点可得M(1,1,1),
12、则BM=(1,1,1),BA=(2,0,0),BP=(2,0,2).设n=(x,y,z)为平面ABM的法向量,则nBA=0,nBM=0,即2x=0,x+y+z=0,令z=-1,可得n=(0,1,-1),故点P到平面MAB的距离d=|nBP|n|=2.10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,AC=AA1=2BC=2,D为AA1上一点.若二面角B1-DC-C1的大小为30,则AD的长为.答案233解析如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0),CB1=(0,1,2),CB=(0,1,0).设AD=a(0a2),则点D的坐标为(2,0,a),CD=(2,0,a).设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z),则mCB1=0,mCD=0y+2z=0,2x+az=0,令z=-1,得m=a2,2,-1.易知平面C1DC的一个法向量为CB=(0,1,0),记为n,则cos 30=|mn|m|n|=2a24+4+1=32,解得a=233(负值舍去),故AD=233.
