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1、高数知识点总结(1)1高数知识点总结(1)1北雁高数知识点总结QQ:760722085E_mail:heblyd专接本高数知识点总结（上册）北雁友情提供函数：绝对值得性质：(1)|a+b|a|+|b|（1）表格法(2)|a-b|a|-|b|(3)|ab|=|a|b|（2）图示法(4)|ab|=|a|b|(b0)函数的表示方法：（3）公式法（解析法）函数的几种性质：（1）函数的有界性（2）函数的单调性（3）函数的奇偶性（4）函数的周期性定理：如果函数（1）幂函数（3）对数函数（5）反三角函数反函数：yf(x)在区间a,b上是单调的，则它的反函数yf（2）指数函数（4）三角函数1(x)存在，且是单
2、值、单调的。基本初等函数：复合函数的应用极限与连续性：数列的极限：xnxn是一个数列，a是一个定数。x（不管它多么小）如果对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得对于nN的一切n，不等式limxaxn的极限，或称数列xn收敛于a，记做nnxan都成立，则称数a是数列，或n（）定义：设收敛数列的有界性：定理：如果数列axn收敛，则数列xn一定有界推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界（3）有界命题不一定收敛定义及几何定义（略见书37页）。（1）同号性定理：如果函数的极限：函数极限的性质：。f(x)0）（2）如果limf(x)A，且在x0的某一邻域内（xx0），恒有f(x)0（或f(x)0），
3、则A0xx0（3）如果limf(x)存在，则极限值是唯一的xx（4）如果lim0f(x)存在，则在f(x)在点x0的某一邻域内（xx0）是有界的。无穷小与无穷大：xx0xx0limf(x)A，而且A0(或A北雁高数知识点总结QQ:760722085E_mail:heblyd重要极限：limg(x)A，limh(x)Axx0则limf(x)A（2）xx0准则二0xx单调有界数列必有极限定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在sinx111xx0xx（3）lim(1)e或lim(1x)exx0x无穷小阶的定义：（1）lim设、为同一过程的两个无穷小。（1）如果lim（2）lim1cosxx2x01
4、20，则称是比高阶的无穷小，记做o()（2）如果lim，则称是比低阶的无穷小（3）如果limc(c0,c1)，则称与是同阶无穷小（4）如果lim1，则称与是等阶无穷小，记做几种等价无穷小：对数函数中常用的等价无穷小：x0时，ln(1x)x(x0)x0时，sinxxtanxxloga(1x)1lnax(x0)三角函数及反三角函数中常用的等价无穷小：1cosx12x2arcsinxxarctanxx指数函数中常用的等价无穷小：x0时，ex1xax1exlna1lnaxn1x1二项式中常用的等价无穷小：ax0时，(1x)1axn函数在某一点处连续的条件：limf(x)f(x0)可知，函数f(x)在点
5、x0（1）f(x)在点x0处有定义（2）当xx0时，f(x)的极限limf(x)存在xx0f(x0)（3）极限值等于函数f(x)在点x0处的函数值由连续定义xx0处连续必须同时满足下列三个条件：极限与连续的关系：如果函数f(x)在点x0处连续，由连续定义可知，当xx0时，f(x)的极限一定存在，反之，则不一定成立第二类间断点(有一个极限不存在)也连续函数的间断点：分类：第一类间断点(左右极限都存在)定理：如果函数定理：如果函数定理：设函数连续函数的和、差、积、商的连续性：f(x)、g(x)在点x0处连续，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点x0反函数的连续性：yf(x)在某区间上是单调增（
6、或单调减）的连续函数，则它的反函数x(y)也在对应的区间上是单调增（或单调减）的连续函数最大值与最小值定理：f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值推论：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上有界定理：设函数介值定理：f(x)在闭区间a,b上连续，两端点处的函数值分别为f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A与B之间的任一值，则在开区间(a,b)内至少有一点，使得f()(ab)(两端点的函数值异号)，则在(a,b)的内部，至少存在一点，使推论（1）：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值推论（2）：设函数f(x)在闭
7、区间a,b上连续，且f(a)f(b)0f()0导数与微分导数：定义：x导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率x0ylimf(xx)f(x)函数可导性与连续性之间的表示：如果函数在x处可导，则在点x处连续，也即函数在点x处连续一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵！Classicalissomethingnotfade,butgrowmorepreciouswithtimepassby,soisdream!第2页共6页北雁高数知识点总结QQ:760722085E_mail:heblyd据导数的定义求导：（1）f(x0x)f(x0)
8、yy|xx0limf(xlim)f(x)x0x00x（2）y|xxlimxf(xx)f(x)0xxxx0（3）y|xxlim00x0x基本初等函数的导数公式：(c)0n（2）幂函数的导数公式(x)nx（1）常数导数为零（3）三角函数的导数公式n1(sinx)cosx(cosx)sinx12(cotx)cscx2sinx(cscx)cscxcotx11（4）对数函数的导数公式：(logax)logaexxxxlna（5）指数函数的导数公式：(a)alnaxx（6）(e)e（7）反三角函数的导数公式：1(tanx)sec2(secx)secxcostanxx2x(arcsinx)(arctanx)
9、函数和、差、积、商的求导法则：法则一（具体内容见书106）法则二（具体内容见书108）法则三（具体内容见书109）11212x1x(uv)uv(uv)uvuv1(arccosx)12(arccotx)1x21x(uv)uv函数乘积的求导法则：函数商的求导法则：复合函数的求导法则：（定理见书113页）反函数的求导法则：()vuuvuvv22反函数的导数等于直接函数导数的倒数基本初等函数的导数公式：（见书121页）高阶导数：二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数求n阶导数：（不完全归纳法）dydx2ddxdx(dy)(n)(sinx)(n)sin(xn2）(cosx)cos(xndydx2）隐函数的导
10、数：（见书126页）对隐函数求导时，首先将方程两端同时对自变量求导，但方程中的y是x的函数，它的导数用记号x(t)y(t)1(t)dxdxdtdxdt(t)微分概念：由参数方程所确定的函数的导数：(对数求导法：先取对数，后求导（幂指函数）t)（或y表示）dydydtdy函数可微的条件（见书133页）如果函数dtf(x)在点x0可微，则f(x)在点x0一定可导函数f(x)在点x0可微的必要充分条件是函数f(x)在点x0可导dyf(x0)x函数的微分dy是函数的增量y的线性主部（当x0），从而，当x很小时，有ydydyf(x)通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记做dx。即于是函数的微分可记为
11、dyf(x)dx，从而有dx基本初等函数的微分公式：（见书136页）几个常用的近似公式：f(x)f(0)f(0)xsinxx（x用弧度）2e1xn1x11nxtanxx（x用弧度）ln(1x)x中值定理与导数应用罗尔定理：如果函数f(x)a,b上连续（2）在开区间a,b内具有导数（1）在闭区间（3）在端点处函数值相等，即满足下列条件拉格朗日中值定理：如果函数（1）在闭区间f(x)f(a)f(b)，则在a,b内至少有一点，使f()0a,b上连续（2）在开区间a,b内具有导数，则在a,b内至少有一点，使得f(b)满足下列条件f(a)f()(ba)梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更
12、显珍贵！Classicalissomethingnotfade,butgrowmorepreciouswithtimepassby,soisdream!第3页共6页北雁高数知识点总结QQ:760722085E_mail:heblyd于弧定理几何意义是：如果连续曲线yf(x)上的弧AB除端点处外处处具有不垂直于x轴的切线，那么，在这弧上至少有一点c，使曲线在点c的切线平行f(x)在区间a,b内的导数恒为零，那么f(x)在a,b内是一个常数f(x)与F(x)满足下列条件柯西中值定理：如果函数推论：如果函数（1）在闭区间ABa,b上连续（2）在开区间a,b内具有导数（3）F(x)在a,b内的每一点处
13、均不为零，则在a,b内至少有一点使得f(b)f(a)F(b)F(a)f()F()罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广罗比达法则：（理论根据是柯西中值定理）00未定式1、xa情形定理：如果(1)当xa时，f(x)与(x)都趋于零（2）在点a的某领域（点a可除外）内，f(x)与f(x)都存在且(x)0f(x)f(x)f(x)(x（3）lim存在（或为），则极限lim存在（或为），且lim=limxa(x)xa(x)xa(x)xa(x)在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为罗比达法则2、x情形推论：如果（1）当x未定式时，f(x)与(
14、x)都趋于零f(x)与(x)都存在且(x)0（2）当|x|N时，f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或为），则极限lim存在（或为），且lim=limx(x)x(x)x(x)x(x)1、xa情形如果（1）xa时，f(x)与(x)都趋于无穷大（2）在点a的某领域（点a可除外）内，f(x)与(x)都存在且(x)0f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或为），则则极限lim存在（或为），且lim=limxa(x)xa(x)xa(x)xa(x)x2、情形推论：如果（1）x时，f(x)与(x)都趋于无穷大f(x)与(x)都存在且(x)0（2）当|x|N时，f(x)f(x)f(x
15、)f(x)（3）lim存在（或为），则则极限lim存在（或为），且lim=lim0xa(x)xa(x)xa(x)xa(x)注意：1、罗比达法则仅适用于型及型未定式f(x0)f(x)lim2、当lim不存在时，不能断定不存在，此时不能应用罗比达法则xaxa(x)(x)泰勒公式（略）(x)(x)迈克劳林公式（略）函数单调性的判别法：（必要条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，如果f(x)在，则在a,b内，f(x)0a,b上单调增加（减少）f(x)0）充分条件：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b内具有导数，（1）如果在a,b内，f(x)0，则f(x)在a,b上单调增加（2）如果
16、在a,b内，f(x)0，则f(x)在a,b上单调减少函数的极值及其求法极值定义（见书176页）必要条件：设函数极值存在的充分必要条件f(x)在点x0处具有导数，且在点x0处取得极值，则f(x)0函数的极值点一定是驻点导数不存在也可能成为极值点f(x)0的点，称为函数f(x)的驻点充分条件（第一）：设连续函数f(x)在点x0的一个邻域（x0点可除外）内具有导数，当x由小增大经过x0（1）f(x)由正变负，则x0是极大点（2）f(x)由负变正，则x0是极小点（3）f(x)不变号，则x0不是极值点;充分条件（第二）：设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f(x0)0，f(x0)0;（1）如果f(x0)0，则f(x)在x0点处取得极大值;（2）如果f(x0)0，则f(x)在x0点处取得极小值驻点：使
