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1、第第6节数学归纳法节数学归纳法最新考纲1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤进展：(1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开场的所有正整数n都成立.知知 识识 梳梳 理理第一个值n0(n0N*)nk12.数学归纳法的框图表示常用结论与微点提醒1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否那么不是数学归纳法.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“或“)
2、(1)用数学归纳法证明等式“12222n22n31，验证n1时，左边式子应为122223.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()解析对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一项.答案(1)(2)(3)(4)解析三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n3.答案C答案D5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除，当第二步假设n2k1(kN*
3、)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真.解析由于步长为2，所以2k1后一个奇数应为2k1.答案2k16.(2021宁波调研)用数学归纳法证明“当n为正偶数时，xnyn能被xy整除第一步应验证n_时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成_.解析因为n为正偶数，故第一个值n2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n2k，故应假设成x2ky2k能被xy整除.答案2x2ky2k能被xy整除考点一用数学归纳法证明等式证明(1)当n1时，左边右边，所以等式成立.规律方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少.(2)由nk时等式成立，推出nk1时
4、等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进展合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法.【训练1】 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*).证明(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以当nk1时等式也成立.由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立.考点二用
5、数学归纳法证明不等式【例2】 (2021浙江五校联考)等比数列an的前n项和为Sn.对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0，且b1，b，r均为常数)的图象上.(1)求r的值；规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他方法不容易证，那么可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.考点三归纳猜测证明规律方法(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其根本模式是“归纳猜测证明，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的正确性.(2)“归纳猜测证明的根本步骤是“试验归纳猜测证明.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.【训练3】 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表达式；(2)假设f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设nN*，猜测g(1)g(2)g(n)与nf(n)的大小，并加以证明.
