中考数学中的“新概念数学”近年来，各地中考出现了一类在新定义下求解的试题，即所谓“新概念数学题”，本 文列举如下，供读者练习参考.一、以平行四边形、菱形为载体的“n阶准菱形”例1 )邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一 次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；… 依次类推，若笫n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1(1), 口ABCD中，若AB=1, BC = 2,则DABCD为1阶准菱形.⑴ (2)图］(1) 判断与推理：① 邻边长分别是2和3的平行四边形是 阶准菱形；② 小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图1(2),把£7ABCD沿BE折壳(点E 在AD上)，使点A落在BC边上的点F,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.(2) 操作、探究与计算：① 已知OABCD的邻边长分别为1, a(a>l),且是3阶准菱形，请画出口ABCD及裁 减线的示意图，并在图形下方写出a的值；② 已知口ABCD的邻边长分别是a, b(a>6),满足a=6b+r, b=5r,请写出£7ABCD 是几阶准菱形.解(1)©2阶；② 由折叠知ZABE=ZEBF, AB = BF,・・・四边形ABCD是平行四边形，・・・AE〃BF, ZAEB=ZEBF,AZABE=ZAEB,・・・AB=AE, AE=BF.・・・四边形ABFE是平行四边形,・・・四边形ABFE是菱形.⑵A D \__, ?letih rmB C B Ca=4 a=2.5②10阶准菱形①图2评析 此试题以平行四边形、菱形、一元一次方程等核心知识为载体，要求学生通过 阅读理解、判断推理、操作计算、抽象概括等方式进行即时的学习和研究，倡导了以学牛 自主学习为主体的新课程理念，很好地引导师牛转变教与学的方式，问题的设置简洁而内 涵丰实，试题呈现方式新颖独特，很清晰地展示了开展一类课题学习的研究模式：定义一 —问题一一推理判断一一操作探究一一抽象概括•试题以能力立意，要求学生灵活运用分类讨论等数学思想，以及从具体到抽象、从特殊到一般、正逆向并存的思维方式.二、以函数、正方形为载体的“伴侣正方形”例2已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当 四边形ABCD(A、B、C、D各点依次排列)为正方形时，称这个正方形为此函数图象的伴 侣正方形.例如：如图3,正方形ABCD是一次函数y=x+l图象的其中一个伴侣正方形.(1) 若某函数是一次函数y=x+l,求它的图象的所有伴侣正方形的边长;(2) 若某函数是反比例函数y=±(k>0),它的图彖的伴侣正方形为ABCD,点D(2, Xm)(m<2)在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式;(3) 若某函数是二次函数y=ax2+c(aH0),它的图像的伴侣正方形为ABCD, C、D中的一个点坐标为(3, 4).写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标 ,写出符合题意的其中一条抛物线解析式 ，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？ .解 ⑴当点A在x轴正半轴，点B在y轴负半轴上时，正方形ABCD的边长为血； 当点A在x轴负半轴、点B在y在半轴上时，设正方形的边长为a,易得3a=近,解得丘 \a= ,所以正方形边长为-；3 3(2) 如图3,作DE, CF分别垂直于x、y轴，易矢 DAADFABAOACBF.此时，m<2, DE=OA=BF=m,0B=CF=AE=2-m.・・・0F=BF+0B=2.・・・C点坐标为(2-m, 2),・・・2m=2(2—m,),解得m=l.2反比例函数的解析式为x(3) (-1, 3)； (7, -3)； (-4, 7)； (4, 1).对应的抛物线分别为：1 2 23 7 2 223"盲 + =_40x +石；3， 1 3 2 55y - + 〒疗=一 + 〒所求出的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数.评析 此试题以一次函数、反比例函数、二次函数和正方形等核心知识为载体，以能 力立意，要求学生灵活运用分类讨论、数形结合等数学思想，以及从易到难、正逆向并用 的思维方式进行推理.学生对函数概念的理解有一个逐步发展的过程，此题对函数内容的编排体现了螺旋上升的、不断深化的过程，三、以抛物线、等腰三角形、中心对称为载体的“抛物线三角形”例3 如果一条抛物线y=ax?+bx + c (aHO)与x轴有两个交点，那么以该抛物线 的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.(1) “抛物线三角形” 一定是 三角形；(2) 若抛物线yi = -x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；(3) 如图4, AOAB是抛物线y2=-x2+bx(b>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O为对称中心的矩形ABCD?若存在，求出过D、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在, 说明理由.解⑴等腰；(2) ・・•“抛物线三角形”是等腰直角三角形，・・・该抛物线的顶点坐标(彳，牛)满足| = ^(b>0),・・・b=2：(3) 存在.作厶OCD与厶OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD是平行四边形, 当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形.V图4又・.・OA=OB, A AOAB是等边三角形，作AE丄OB,・•・ ~- = > 0），/. b = 2^3 y4（屁3）,陀屈0） ,C（ -#,-3） ,0（-2 屁 0）,过O、C、D三点的抛物线y = / + 2屁.评析 此题以抛物线、等腰三角形等核心知识为载体，引出抛物线三角形这个数学新 概念，结合中心对称、矩形知识，考察学生的认知、应用等能力.四、以坐标系中两点之间距离为载体的“非常距离”例4 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P】(xi，Y1)与P2(x2, yj的“非常 距离”，给出如下定义：若— x2 N卜］—歹2，则点P|与卩2的''非常距离"为卜［—尢2 ；若R 一兀2|<山一)‘2|，则点P1与P2的“非常距离”为|)［-旳|；例如：点Pi(l, 2)与P2(3, 5),因为|1-3|<|2-5|,所以点P］与P?的“非常距离”为|2-5|=3.(1) 已知点A(-p 0), B为y轴上的一个动点.① 若点A与点B的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点B的坐标；② 直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值.3(2) 己知C是直线y= —x+3上的一个动点.4① 点D的坐标是(0, 1),求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐 标；② E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离” 的最小值及相应的点E和点C的坐标.解(1)© (0, -2)或(0, 2)；②0.5(2)设点C的坐标为(％,右。
3)・① 当■观=右2时,％ =-y.所以 点C与点D的“非常距离”的最小值号，点C 的坐标(一号,学)；② 点E的坐标(一点C与点D的“非常距离”的最小值1.评析 此题将坐标系中两点Z间距离、一次函数、直线与圆的位置关系等核心知识相 结合，从求两个定点的非常距离，到求定点与动点非常距离的最小值，由浅入深、由易到 难，体现数学知识的迁移性.五、以直角三角形中的勾股定理逆定理为背景的“奇异三角形”例5 阅读下血的情境对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异 三角形.小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形 呢？(1) 根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异 三角形”是真命题还是假命题？(2) 在 RtAABC 中，AB=c, AC=b, BC = a,且 b>a,若 RtAABC 是奇异三角形， 求 a： b： c：(3) 如图5, AB是OO的直径，C是OO上一点(不与点A、B重合)，D是半圆如DB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在OO内存在点E,使AE = AD, CB = CE.D图5① 求证：AACE是奇异三角形；② 当AACE是直角三角形时，求ZAOC的度数.解(1)真命题；(2) ih^ABC 中,/ +b2 = c2, •/ c > 6 > a > 0,2c2 > a2 + b2,2a2 < c2 + b2.•••若RiZUBC是奇异三角形，则有 2b2 = c2 + a2,/. 2b2 = a2 + (a2 + 62)./. 62 = 2a2，/. b = y/2a.・•. a： b： c = \ :厄：事；(3) ①・・・AB是©0的直径,・・・乙ACB =乙ADB = 90°.在 RtAABC 中,疋 + BC2 = AB2.在 Rt^ADB 中，力 + BD2 = AB2.•・•点D是半圆而的中点,••• AD BL). ・•・ AD = BDt:. AB2 = AD2 + BD2 = 2AD2, ・•. AC2 + CB2 = 2AD2.又CB = CE,AE = ADt••・ AC2 = CE2 = 2AE2,・•・ZUCE是奇异三角形；②由①可得MCE是奇异三角形.:.AC1 = CE2 = 2AE2.当△ACE是直角三角形时，由(2)可得 AC ： AE ： CE = \ ：血：爲, 或 AC： AE： CE 二事：血：1.(i) 当 AC - AE- CE = 1 ： Q： 3 日寸，AC - CE = 1 : #,E[JAC： CB = 1 : 73.乙ACB = 90°,/. jLABC = 30°,・•. LAOC = 2 A ABC = 60°；' '(ii) 当 AC ： AE ： CE 二事：匹:1 时， AC： CE =事：1,艮卩 AC： CB = 75■: 1.・・•乙ACB = 90°,/. EAEC = 60° ,・•. /A0C = 2乙ABC = 120°,/.乙 A0C = 2 A ABC = 120°,・・.厶AOC的度数为60。
或120评析此题要求学生通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.六、以角平分线、四边形为载体的“准内点、准等距点”例6 定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边 形的准内点•如图6, PH = PJ, PI = PC,则点P就是四边形ABCD的准内点.(1) 如图7, ZAFD与ZDEC的角平分线FP, EP相交于点P.求证：点P是四边形 ABCD的准内点；(2) 分别画出平行四边形和梯形的准内点；(3) 判断下列命题的真假：① 任意凸四边形一定存在准内点；② 任意凸四边形一定只有一个准内点；③ 若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA+PB = PC + PD或PA+PC = PB + PD.解 (1)如图7,过点P作PG丄AB. PHIBC, PI丄CD, PJ丄AD.TEP 平分ZDEC, PO = PH.同理PG = PI.・・・P是四边形ABCD的准内点；(2)平行四边形对角线AC, BD的交点Pi就是准内点，如图8(1)；或者取平行四边形两对边中点连线的交点P】。