第一章统计案例1.1独立性检验 学习目标导航 1. 理解相互独立事件的概念，了解独立性检验的思想和方法・(重点)2. 会利用2X2列联表求并能根据/值与临界值的比较进行独立性检验•(重点、难点)阶段11认知硕习质疑(知识梳理要点初探)［基础•初探］教材整理1独立事件阅读教材P3~P4例2以上部分，完成下列问题.1. 独立事件的定义一般地，对于两个事件力，B,如果有P(AB)=P(A)・P(B),则称事件/与B 相互独立，简称/与B独立.2. 如果力，B相互独立，则万与〃，/与万，万与万也相互独立. O微体验O 甲、乙两人分别独立地解一道题，甲做对的概率是*,甲、乙都做错的概率 是右则乙做对的概率是 .1 1【解析】 设“甲、乙做对”分别为事件B,则P⑷p, P(A B)=g,由 P(/ B ) = (l-P(/f))«(l-P(5)),得(l-》・(l_p (B))=右2 解得P(B)=亍2【答案】f教材整理2 2X2列联表与才统计量的计算公式阅读教材P4~P5第10行以上部分，完成下列问题.1・对于两个事件4 B,用下表表示抽样数据：B合计A«ii"12n\+~A"21"2+合计in\2n表中：/? + 1 = “]]+〃21、 n+2 = «]2+〃22, X1 + = 〃]]+”]2、 X2+ =刃21+*22/ 〃=总11 + 斤21 + 兀12 + “22 ■形如此表的表格为2X2列联表.2.统计量z2的计算公式、29 H (H||Z7?2~A212A79| ).Hi±H2+H±\!l±2 °微体验o 下面是一个2X2列联表:>?2合计X]a2173兀282533合计b46则表中a, b处的值分别为()A. 94, 96 B.52, 50C.52, 60 D.54, 52【解析】・・1 + 21 =73,・・< =52.又 6=^ + 8 = 524-8 = 60・【答案】C教材整理3独立性检验思想 阅读教材匕倒数第5行〜Pg,完成下列问题.1 •用Ho表示事件/与〃独立的判定式，即Ho： P(AB)=P(A)P(B),称H°为统计假设.2.用产与其临界值3.841与6.635的大小关系来决定是否拒绝统计假设弘, 如下表：大小比较结论/^3.841事件/与B是无关的X2>3.841有95%的把握说事件乂与B有关X2>6.635有99%的把握说事件/与B有关。
微体验° 判断(正确的打“ V ”，错误的打“ X ”)(1) 甲、乙两人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次击中目标”为事件力， “乙射击一次击中目标”为事件则事件/与事件B是相互独立事件・()(2) 在使用/统计量作2X2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据可 以是任意的.()(3) ^/>3.841认为两事件有99%的关系.()【解析】(1)根据题意，“甲的射击”与“乙的射击”没有关系，是相互独 立.(2) 由2X2列联表知，每表中的4个数据大于等于5.(3) 由临界值知，当才>3.841时有95%的把握认为两事件有关.【答案】⑴丿⑵X (3)X［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1: 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 阶段2介作探究通关(分组讨论疑难细究］［小组合作型］类型1相互独立事件的概率»例0 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,从这两批种子中各随 机地抽取一粒，求：(1) 两粒都能发芽的概率；(2) 至少有一粒种子能发芽的概率；(3) 恰好有一粒种子能发芽的概率.【精彩点拨】 甲(或乙)中的种子是否发芽对乙(或甲)中的种子是否发芽的 概率是没有影响的，故“甲批种子中某粒种子发芽”与“乙批种子中某粒种子发 芽”是相互独立事件•因此可以求出这两个事件同时发生的概率•对于(2)(3)应把 符合条件的事件列举岀来或考虑其对立面.【自主解答】 设以〃分别表示“取自甲、乙两批种子中的某粒种子发 芽”这一事件，7,万则表示“取自甲、乙两批种子中的某粒种子不发芽”这一 事件，则P(A)=0.8, P(B)=0.7,且力，B相互独立，故有(1 =尸⑷陀)=0.8 X 0.7=0.56,故两粒都能发芽的概率为0.56.(2)法一 P(A UB)=P(A)+P(B)-5)=0.8+0.7 -0.56=0.94.法二至少有一粒种子能发芽的对立事件为两粒种子都不发芽，即P(AUB)=1-P(A 5)=1-P(//)P(5)= 1-(1-0.8)X(1-0.7)= 0.94.故至少有一粒种子能发芽的概率为0.94.(3)P(AB U AB)=P(AB)+P(AB)=0.SX(1 -0.7)+(l-0.8)X0.7=0.38.故恰好有一粒种子能发芽的概率为0.38.1. 求解简单事件概率的思路：(1) 确定事件间的关系，即两事件是互斥事件还是对立事件；(2) 判断事件发生的情况并列出所有事件；(3) 确定是利用和事件的概率公式还是用积事件的概率公式计算.2 •求解复杂事件概率的思路：(1) 正向思考：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简 单的互斥事件的和事件或相互独立的积事件；(2) 反向思考：对于含有“至少”“至多”等事件的概率问题，可转化为求 其对立事件的概率.［再练一题］1. 甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天独立完成6道数学题， 已知甲及格的概率是备乙及格的概率是令，丙及格的概率是哈，三人各答一次, 求三人中只有一人答题及格的概率是多少？Q【解】 设“甲、乙、丙三人答题及格”分别为事件B, C,则尸(力)=話, P(B)=备 40=召，设“三人各答题一次只有一人及格”为事件D 则D的情况为 ABC, ABC , ABC,所以 P(D) = P(A B C) + P(4 B C) + P(4 B C)=7 _ 47W=250*B)P(C) + P(A )P(B)P( C) + P(I)P(5).P(Q=-^X fl 一希 fl 一哈)+用2X2列联表分析两变量间的关系卜例2在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了 124人，其中六十岁以+X10丿八10上的70人，六十岁以下的54人•六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主•请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用誥与瓷判断二者是否有关系.【精彩点拨】对变量进行分类求出分类变量 的不同取值f作出2X2列联表计算空与些斤1+ 乃2+的值作出判断年龄在六十岁以上年龄在六十岁以下合计饮食以蔬菜为主432164饮食以肉类为主273360合计7054124【自主解答】 饮食习惯与年龄2X2列联表如下:将表中数据代入公式得n\\&I +4364"0.67.2760=0.45.显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.1. 作2X2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误.2. 作2X2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.I再练一题I2. 题中条件不变，尝试用加血2—牝肋I的大小判断饮食习惯与年龄是否有关.【解】 将本例2X2列联表中的数据代入可得|勿"22 一如2 血11 = 143X33-21X271 = 852.相差较大，可在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.［探究共研型］探究1利用才进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？探究点独立性检验的综合应用【提示】 利用才进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计,样本容量刃越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用才 进行独立性检验的结果就不具有可靠性.探究2在才运算后，得到x2的值为29.78,在判断变量相关时， 6.635)^0.01和4^27.879戶0.005,哪种说法是正确的？【提示】 两种说法均正确中(/2$6.635)~0.01的含义是在犯错误的概率不 超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P(z2^7.879)^0.005的含义是在犯错 误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关.卜例国为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方 法从该地区调查了 500位老年人，结果如下：女需要4030不需要160270(1) 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例.(2) 能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别 有关？(3) 根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要 志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由.【精彩点拨】题中给出了 2X2列联表，从而可通过求于的值进行判定. 对于(1)(3)可依据古典概率及抽样方法分析求解.【自主解答】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因702一=9.967.此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为丽 =14%.(2)/ =500X (40X270—30X160)200 X 300 X 70 X 430由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与 性别有关.(3) 由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数 据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在 调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法进行抽样，这比采用简单随机抽样方法更好.21. 检验两个变量是否相互独立，主要依据是利用2 = "（〃M22 —血2也）__公〃M2+n + W+2式计算z2的值，再利用该值与3.841, 6.635两个值进行比较作出判断.2. 丸2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李戴； 三是计算时要细心.3•统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测 全部数据的性质•因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计 关系，而不是因果关系.［再练一题］3. 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品 的饮食习惯方面有差异"・【解】 将2X2列联表中的数据代入公式计算，得? n （加1血2一〃 12血1）2 100X （60X10-20X10） 2 100H = = = 76?小畑*+1〃+2 70X30X80X20 21 "。
厶因为4.762>3.841,所以有95%的把握认为。