高等数学模拟试题(理工类考研辅导)

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1、高等数学模拟试题（理工类考研辅导）高等数学模拟试题（理工类考研辅导）福建师范大学数学与计算机科学学院编2012年1月1目录专题1求极限的方法与技巧专题2元分段函数的极限、连续、导数与积分专题3介值定理与微分中值定理的应用专 题4一元函数微分法专题5导数的应用专题6方程根的证明专题7不等式的证明专题8不定积分专题9积分上限函数专题10定积分专题11定积分的应用专题12向量代数专题13平面与直线专题14曲面与空间曲线专题15二元函数的极限与连续专题16多元函数微分法专题17偏导数的应用专题18二重积分专题19三重积分专题20曲线积分专题21曲面积分专题22常数项级数专题23幕级数专题24傅里叶级数

2、专题25 一阶微分方程的求解专题26高阶微分方程的求解附录 考研数学考试大纲和考研数学重点内容2附录1考研数学重点考研数学考试大纲I、全国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲一、考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计二、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟.三、答题方式3答题方式为闭卷、笔试.四、试卷函数连续的概念函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试 要求：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4. 掌握

3、基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之 间的关系.6. 掌握极限的性质及四则运算法则.7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方 法.&理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极 限.9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、 最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.（二）、一元函数微分学考试函数的极值函数图形的凹凸

4、性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最 小值 弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径考试要求：1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线 的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导 性与连续性之I可的关系.2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了 解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5. 理解并会用罗/J(Rolle)定理、拉

5、格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并 会用柯西(Cauchy)中值定理.6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7. 理解函数的极值概念，学握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，学握函数 最大值和最小值的求法及其应用.8. 会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(a,b)内，设函数f(x)具有二阶导数。当,会求函数图形时，f(x)的图形是凹的；当时，f(x)的图形是凸的)的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9. 了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.(三) 、一元函数积分学考试内容：原函数和不定积分的概念不定积分的基本性

6、质基本积分公式定积分的概念和基本性质 定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨(New(onLeibniz)公式不定 积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的 积分反常(广义)积分定积分的应用考试要求：1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.2. 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换 元积分法与分部积分法.3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式.5. 了解反常积分的概念，会计算反常积分.6. 掌握用定积分表达和计算一些

7、几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等) 及函数的平均值.(四) 、向量代数和空间解析几何考试内容：向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的 条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和 空I可曲线方程的概念 平面方程、直线方程 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以 及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方 程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程考试要求：1. 理解空间

8、直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2. 常握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件.3. 理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运 算的方法.4. 掌握平面方程和直线方程及其求法.5. 会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互 关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.6. 会求点到直线以及点到平面的距离.7. 了解曲面方程和空I可曲线方程的概念.&了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求

9、该投影 曲线的方程.（五）、多元函数微分学考试二阶偏导数 方向导数和梯度 空间曲线的切线和法平面曲血的切平面和法线 二元 函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用考试要求：1 理解多元函数的概念，理解二元函数的儿何意义.2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充 分条件，了解全微分形式的不变性.4理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6. 了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.7. 了解空间曲线

10、的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.8. 了解二元函数的二阶泰勒公式.9. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元 函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简 单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.（六）、多元函数积分学考试两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（Stokes）公式散度、旋度的概念 及计算曲线积分和曲面积分的应用考试要求：1 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.2. 掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重

11、积分（直角坐标、柱面坐 标、球面坐标）.3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.4. 掌握计算两类曲线积分的方法.5. 掌握格林公式并会运用平而曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函 数.66. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方 法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.7. 了解散度与旋度的概念，并会计算.8. 会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、 曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.（七）、无穷级数考试内容：常

12、数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条 件 几何级数与P级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 交错级数与莱布尼茨定理 任 意项级数的绝対收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念 幕级数及其收敛半 径、收敛区间（指开区间）和收敛域 幕级数的和函数 幕级数在其收敛区间内的基本性质 简 单幕级数的和函数的求法初等函数的幕级数展开式函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶 级数狄利克雷（Dirichlet）定理函数在上的傅里叶级数函数在0,1上的正弦级数和余眩级数考试要求：1 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的 必要条

13、件.2. 掌握儿何级数与p级数的收敛与发散的条件.3. 掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.4. 掌握交错级数的莱布尼茨判别法.5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.7. 理解幕级数收敛半径的概念、并掌握幕级数的收敛半径、收敛区I可及收敛域的求法.8. 了解幕级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会 求一些幕级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.10. 掌握c, sinx, cosx,及 的麦克劳林（Ma

14、claurin）展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幕级数.11. 了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0,1上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数 的表达式.（八）、常微分方程考试内容：常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程一阶线性微分方程伯努 利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶 微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶 的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方 程

15、微分方程的简单应用考试要求71. 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2. 掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4. 会用降阶法解下列形式的微分方程：和5理解线性微分方程解的性质及解的结构.6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微 分方程.7. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系 数非齐次线性微分方程.8. 会解欧拉方程.9. 会用微分方程解决一些简单的应用问题.11、全国硕士研究生入学统一考试数学二考试大纲一、考试科目：高等数学、线性代数二、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟.三、答题方式答题方式为闭卷、笔试.四、试卷函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函 数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立数列极限与函数极限的定 义及其性质函数的左