能量法与超静定课件

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1、 第五讲第五讲 能量法与超静定能量法与超静定 材料力学材料力学的主要内容的主要内容 一、能量法一、能量法 二、超静定二、超静定 三、动载荷三、动载荷考点考点基本理论与应用基本理论与应用知识掌握与能力知识掌握与能力10-1 10-1 能量法概述能量法概述一、基本概念一、基本概念 二、基本理论二、基本理论 三、基本方法三、基本方法 四、典型例题四、典型例题 1 1、结构的变形分析、结构的变形分析 2 2、超静定结构分析、超静定结构分析 3 3、结构的稳定性分析、结构的稳定性分析 4 4、杆件的冲击分析、杆件的冲击分析 五、能量法的应用五、能量法的应用一、基本概念一、基本概念1 1、能量法、能量法

2、利用利用功功和和能能的的原理原理求解变形固体的位移、求解变形固体的位移、变形和内力等的方法称为能量法。变形和内力等的方法称为能量法。2、变形能变形能 在线弹性范围内，弹性体在外力作用下发在线弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内储蓄的能量，称为弹性变形能生变形而在体内储蓄的能量，称为弹性变形能或称应变能。或称应变能。 二、基本理论二、基本理论1 1、功能原理；、功能原理； 2 2、克隆原理；、克隆原理； 3 3、虚位移原理；、虚位移原理；4 4、虚功原理；、虚功原理； 5 5、虚力原理；虚力原理； 6 6、互等定理；、互等定理； 7 7、卡氏定理；、卡氏定理； 8 8、莫尔定理。、莫尔

3、定理。 三、基本方法三、基本方法1 1、能量法、能量法2 2、求导法、求导法3 3、单位载荷法、单位载荷法4 4、图乘法、图乘法重点：重点：功能原理、单位载荷法。功能原理、单位载荷法。 难点：难点：虚位移、虚功、虚功原理、虚力原虚位移、虚功、虚功原理、虚力原 理理、虚位移原理虚位移原理。考点：考点：变形能的概念，变形能的概念，能量法在超静定、能量法在超静定、 冲击中的应用。冲击中的应用。10-2 10-2 弹性杆件的变形能弹性杆件的变形能一、轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩二、扭转二、扭转三、弯曲三、弯曲纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：杆件基本变形的变形能杆件基本变形的变形能一、轴向拉伸和

4、压缩一、轴向拉伸和压缩二、扭转二、扭转三、横力弯曲三、横力弯曲杆件组合变形的变形能杆件组合变形的变形能式中：式中：K剪切形状系数。剪切形状系数。矩形矩形K=6/5; 圆形圆形K=10/9; 圆环圆环K=2。10-3 10-3 克隆原理克隆原理 线弹性体的变形能等于每一外力与线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。其相应位移乘积的二分之一的总和。 所有的广义力均以静力方式，按一定比例由所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终增加至最终值。任一值。任一广义位移广义位移 与整个力系有关，但与其相应的与整个力系有关，但与其相应的广义力广义力 呈线性关系。呈线性关系。式中

5、：式中：K剪切形状系数。剪切形状系数。矩形矩形K=6/5; 圆形圆形K=10/9; 圆环圆环K=2。内力表示的内力表示的克隆原理克隆原理重要基本概念重要基本概念1、广义位移广义位移（用（用表示）表示）线位移线位移: 水平位水平位移移ix ; 竖向位移竖向位移iy ; 角位移角位移i ; 相对位移：一对力引起的位移。相对位移：一对力引起的位移。AB 2、广义力广义力（用（用F表示）表示） 广义外力（广义外力（F、R）。）。 广义内力（广义内力（N、Q、T、）。）。3、实位移和虚位移、实位移和虚位移 实位移实位移位移是由作功的力自身引起的。位移是由作功的力自身引起的。虚位移虚位移位移不是由作功的力

6、自身引起的位移不是由作功的力自身引起的 例例10-1：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端理求自由端B的挠度。的挠度。F F解：解：例例10-2：悬臂梁在自由端承受集中力：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶及集中力偶矩矩M0作用。设作用。设EI为常数，试求梁的变形能。为常数，试求梁的变形能。LFMeAB 弯矩方程弯矩方程 变形能变形能解：方法一解：方法一 内力表达式内力表达式LFM0AB当当F和和M0分别作用时分别作用时克隆定理克隆定理（方法二（方法二 外力表达式）外力表达式）关于变形能的讨论关于变形能的讨论1 1、上述各能量式仅适用于线弹性材

7、料杆件在、上述各能量式仅适用于线弹性材料杆件在小变形下的变形能的计算。小变形下的变形能的计算。2 2、变形能可以通过外力功计算，也可以通过、变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计算，然后积分求得整个杆件的变形能。算，然后积分求得整个杆件的变形能。3 3、变形能为内力（或外力）的二次函数，故、变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不作功时，才可应用叠加原理。作功时，才可应用叠加

8、原理。关于变形能的讨论关于变形能的讨论两个以上载荷引起同一种基本变形的两个以上载荷引起同一种基本变形的变形能，不等于各个载荷引起的变形变形能，不等于各个载荷引起的变形能的叠加。与当杆件发生两种或两种能的叠加。与当杆件发生两种或两种以上的基本变形时，杆件的总变形能以上的基本变形时，杆件的总变形能等于各个基本变形的变形能的和。的等于各个基本变形的变形能的和。的概念容易混淆，应注意理解。概念容易混淆，应注意理解。关于变形能的讨论关于变形能的讨论4 4、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选择无关，在杆系结构中，各杆可独立地选择坐标系。地

9、选择坐标系。5 5、弹性体所受的外力从零缓慢（逐渐）、弹性体所受的外力从零缓慢（逐渐）增加到最终值。增加到最终值。6 6、变形能大小与加载过程的先后次序无、变形能大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应的位移的关，而只决定于载荷及其相应的位移的最终值。最终值。关于变形能的讨论关于变形能的讨论7 7、对于一般结构剪切变形能比较小通、对于一般结构剪切变形能比较小通常略去不计。若剪切变形能比较大，常略去不计。若剪切变形能比较大，不能略去时其计算公式：不能略去时其计算公式：式中式中K K是与截面形状系数。矩形：是与截面形状系数。矩形： K=6/5K=6/5 圆形：圆形： K=10/9K=1

10、0/9 讨论题讨论题11弹性体在外力作用下因弹性变形而储存弹性体在外力作用下因弹性变形而储存的能量，称为弹性变形能（的能量，称为弹性变形能（ ）。）。2 2、弹性体在内力作用下因弹性变形而储存、弹性体在内力作用下因弹性变形而储存的能量，称为弹性变形能（的能量，称为弹性变形能（ ）。）。3 3、在线弹性情况下，力与位移呈线性关系，、在线弹性情况下，力与位移呈线性关系，其变形能随力在做功。不考虑能量损失的其变形能随力在做功。不考虑能量损失的情况，力与位移的三角形阴影部分的面积情况，力与位移的三角形阴影部分的面积就等于变形能（就等于变形能（ ）。）。4 4、弹性变形的大小等于广义力与相对应的、弹性变

11、形的大小等于广义力与相对应的广义位移乘积的一半（广义位移乘积的一半（ ）。）。讨论题讨论题5 5、广义力可以是一个集中力、一个集中力、广义力可以是一个集中力、一个集中力偶、一对集中力、一对集中力偶（偶、一对集中力、一对集中力偶（ ）6 6、广义位移可以是一点的线位移、一个截、广义位移可以是一点的线位移、一个截面的角位移、两点间的相对位移、两个截面的角位移、两点间的相对位移、两个截面的相对角位移（面的相对角位移（ ）。）。7 7 、广义力与广义位移的对应关系，一个集、广义力与广义位移的对应关系，一个集中力对应的广义位移与该力作用点沿该力中力对应的广义位移与该力作用点沿该力作用方向的位移（作用方向

12、的位移（ ）。）。讨论题讨论题8 8、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形能也可以叠加（能也可以叠加（ ）。）。9 9、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形能不可以叠加（能不可以叠加（ ）。）。1010、非线弹性结构，位移和变形能都可以、非线弹性结构，位移和变形能都可以叠加（叠加（ ）。）。1111、非线弹性结构，位移和变形能都不可、非线弹性结构，位移和变形能都不可以叠加（以叠加（ ）。）。讨论题讨论题1212、当某一种基本变形的变形能由两个以上的载、当某一种基本变形的变形能由两个以上的载荷共同引起时，该变形能不等于这些载荷单

13、独荷共同引起时，该变形能不等于这些载荷单独作用时引起的变形能的叠加（作用时引起的变形能的叠加（ ）。）。1313、当杆件发生两种或两种以上基本变形时，杆、当杆件发生两种或两种以上基本变形时，杆件的总变形能等于各个基本变形的变形能的和件的总变形能等于各个基本变形的变形能的和（ ）。）。1414、在小变形情况下，每一基本变形下的内力分、在小变形情况下，每一基本变形下的内力分量对其他基本变形并不做功（量对其他基本变形并不做功（ ）。）。1515、变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆、变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计算，件微段上的内力功等于微段上的变形能计算

14、，然后积分求得整个杆件的变形能（然后积分求得整个杆件的变形能（ ）。）。讨论题讨论题1616、变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原、变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不作功时，才可应用叠荷在其他载荷引起的位移上不作功时，才可应用叠加原理（加原理（ ）。）。1717、两个以上载荷引起同一种基本变形的变形能，不、两个以上载荷引起同一种基本变形的变形能，不等于各个载荷引起的变形能的叠加（等于各个载荷引起的变形能的叠加（ ） 。1818、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关

15、，、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立地选择坐标系（在杆系结构中，各杆可独立地选择坐标系（ ）。）。1919、变形能大小与加载过程的先后次序无关，而只决、变形能大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应的位移的最终值（定于载荷及其相应的位移的最终值（ ） 。作业作业P105P105 习题：习题：13.113.1、13.3 13.3 、13.413.4。 10-4 变形体的虚变形体的虚功原理功原理一、基本概念一、基本概念1、广义位移广义位移（用（用表示）表示）线位移线位移: 水平位水平位移移iX竖向位移竖向位移iy角位移角位移i 相对位移：一对力引起的位

16、移。相对位移：一对力引起的位移。AB 2 2、广义力（用、广义力（用F F表示）表示） 广义外力（广义外力（F F、R R）。）。 广义内力（广义内力（N N、Q Q、T T、）。）。3 3、实位移和虚位移、实位移和虚位移 实位移实位移位移是由作功的力自身引起的。位移是由作功的力自身引起的。虚位移虚位移位移不是由作功的力自身引起的位移不是由作功的力自身引起的4 4、实功和虚功、实功和虚功 实功实功力在实位移上作的功。力在实位移上作的功。 虚功虚功力在虚位移上作的功。力在虚位移上作的功。5 5、虚功中力和位移的性质：力和位移彼此独立无、虚功中力和位移的性质：力和位移彼此独立无关的两种状态。关的两种状态。6 6、求解静定结构位移的基本理论、求解静定结构位移的基本理论变形体的虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功变形体的虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功 W W外外W W内内虚功原理的两种形式：虚功原理的两种形式：1 1）虚位移原理：实力状态，虚位移状态。）虚位移原理：实力状态，虚位移状态。2 2）虚力原理：虚力原理： 实位移状态，虚力状态。实位移状态，虚力状态。二、求解静定结构位移的基本方法二