补形法的应用一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分繁难，若通过适当的“补形”来进行，即添置适当的辅助线，将原图形填补成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，使原问题顺利获解这种方法，我们称之为补形法，它能培养思维能力和解题技巧我们学过的三角形、特殊四边形、圆等都可以作为“补形”的对象现就常见的添补的图形举例如下，以供参考一、补成三角形1.补成三角形例1.如图1，已知E为梯形ABCD的腰CD的中点；证明：△ABE的面积等于梯形ABCD面积的一半分析：过一顶点和一腰中点作直线，交底的延长线于一点，构造等面积的三角形这也是梯形中常用的辅助线添法之一略证：2.补成等腰三角形例2 如图2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求证：BD＝2CE分析：因为角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF＝2CE，再证BD＝CF即可略证：3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F、G分别是AD、BC的中点，若BC＝18，AD＝8，求FG的长图3分析：从∠B、∠C互余，考虑将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。
略解：4.补成等边三角形例4.图4，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA至E，使AE＝BD，连结CE、ED证明：EC＝ED分析：要证明EC＝ED，通常要证∠ECD＝∠EDC，但难以实现这样可采用补形法即延长BD到F，使BF＝BE，连结EF略证：二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且E、F、G、H不在同一条直线上，求证：EF和GH互相平分分析：因为平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形略证： 2.补成矩形例6.如图6，四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的长图6分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解略解：3.补成菱形图7例7.如图7，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面积分析：延长EA、CB交于P，根据题意易证四边形PCDE为菱形略解：4.补成正方形图8例8.如图8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。
求△ABC的面积分析：本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实有些困难，如果从题设∠BAC＝45°，AD⊥BC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解 略解：5.补成梯形图9例9．如图9，已知： G是△ABC中BC边上的中线的中点，L是△ABC外的一条直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1求证：GG1＝ (2AA1＋BB1＋CC1)分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1⊥L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证略证： 三、练习1、在△ABC中，AC=BC，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，又AE=BD，求证：BE平分∠ABCABQCP2、如图，已知：在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP3、已知：∠BAC=90°，AB=AC，AD=DC，AE⊥BD，求证：∠ADB=∠CDEABCDE ABCPM4、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上的任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记为S和，求：S－t的值。
如图，当P为M关于BC的对称点M’与A的连线AM’与BC交点时PA＋PM取最小值T；当P与C重合时为最大值S=2+√3过A作AD⊥M’M交其延长线于D，易知MD’=3MH=3√3/2，又AD=1/2，所以PM+PA=PM’+PA=PM’=√7 （用勾股定理算得）便得S-T=2+√3-√7 S^2-T^2=4√3附件： 结论是BQ+AQ=AB+BP吧∵∠BAC=60°,∠ACB=40°∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=80°∵AP,BQ是角平分线∴∠PAB=∠PAC,∠CBQ=∠ABC/2=40°∴∠CBQ=∠ACB,BQ=CQ∴AQ+BQ=AQ+CQ=AC在AC上截取AM=AB,连PM∵AM=AB,∠PAC=∠PAB,AP=AP∴△BAP≌△MAP(SAS)∴BP=PM,∠AMP=∠ABP=80°∴∠MPC=∠AMP-∠ACB=40°=∠ACB∴MP=CM∴BP=CM∴AB+BP=AM+CM=AC∴BQ+AQ=AB+BP解：证明：延长AE、BC，相交于点F ∵∠ACB=90° ∴∠ACF=180°-∠ACB=90° ∵∠ACB=∠ACF，∠1+∠F=90° ∵AE⊥BE ∴∠AEB=∠FEB=90° ∴∠2+∠F=90° ∴∠1=∠2 在△ACF和△BCD中 {∠1=∠2 {AC=BC {∠ACF=∠ACB ∴△ACF≌△BCD（ASA） ∴AF=BD ∵AE=1/2BD 即AE=EF 在△BEA和△BEF中 {AE=EF {∠AEB=∠FEB {BE=BE ∴△BEA≌BEF（SAS） 即BD是∠ABC的平分证明:取EF中点H,连结GH ∵EH=HF.BD=DC ∴HD‖CF,HD=1/2(BE+CF) ∴∠FHD=90° 在△HDO和△GAO中 ∠DHO=∠AGO ∠HOD=∠GOA OD=OA ∴△HDO≌△GAO ∴AG=HD ∵HD=1/2(BE+CF) ∴AG=1/2(BE+CF) 即BE+CF=2AG。