§9三角函数的简单应用［学习目标］1.会用三角函数解决一些简单的实际问题2体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型.戸预习导学 /挑战自我，点点落实 ［知识链接］1. 数学模型是什么？建立数学模型的方法是什么？答 简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概插，再从数学角度来反映或近似 地反映实际问题时，所得岀的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法，是把实际问题加 以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型來研究实际问题的一般数学方法.2. 上述的数学模型建立的一般程序是什么？答解决问题的一般程序是：1 审题：逐字逐句的阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2 建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；3 求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4 还原：把数学结论还原为实际问题的解答.［预习导引］1. 三角函数的周期性2兀y=Asm(a)x+(p)⑹HO)的周期是卩=两；2兀y=AcQ^a)x+(p) (eHO)的周期是卩=両；JT尹（亦+卩）（cyHO）的周期是卩=血・2. 函数y=Asm（a）x-\-（p）+k （A>0, &}>0）的性质（］iXmax _M + R，J;min_ —4 + k.s、4 J;max Pmin ⑵/ = ~2-. J;max + J;min k=~2-(3)0可由e=亍确定，其中周期卩可观察图像获得.(4)由oq+0=Q, 3x2+(p=q, 3:3+0=匹，0也+0=㊁兀’3^+。
2兀中的一个确定卩的值.3. 三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中凰期现彖的一种数学模型，可以月来研究很多问题，在刻画周 期变化规律、预测其未来等方面都发挥着-I-分重要的作用.要点一三角函数图像的应用例1作出函数y=|cosx|, XWR的图像，判断它的奇偶性并写出其周期和单调区间.解 y=|cos x|< _ 7C 71 _cosx, xW —㊁+2«兀，㊁+2«兀伙EZ),=<71 3兀— cosx, xG㊁十2加，迈~+2加 伙G Z).作出函数y=cosx的图像后，将X轴下方部分沿X轴翻折到兀轴上方，如图由图可知，y=|cosx|是偶函数，T=ll, 单调递增区间为—号+刼,ht (MZ), 单调递减区间为kit,号+祝(底Z).规律方法 翻折法作函数图像⑴要得到y=|/(x)|的图像，只需将y=J(x)的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折到上方，即“下 翻上”.⑵要得到y=/(|x|)的图像，只需将y=f(x)的图像在y轴右边的部分沿尹轴翻折到左边，即“右 翻左”，同时保留右边的部分.跟踪演练1作出函数y=sin|x|的图像并判断其奇偶性.解 V sin( —x) — — sin x,sinx,兀20,・・・y=sin|x|=].I—sin x, x<().要点二应用函数模型解题例2已知电流/与时间『的关系为I=Asin(ojt+(p).JT(1)如图所示的是I=Asm(cot+(p)(co>0, |卩0)在一个周期内的图像，根据图中数据求I=Asm(cot+卩)的解析式;⑵如果/在任意一段需秒的时间内，电流I=Asin((ot+(p)都能取得最大值和最小值，那么e 的最小正整数值是多少？解 (1)由图知力=300,设"=—go。
2= ]80，则周期卩=2©—力)=2(嗇一需卜吉.co =卩=150兀.又当 /— ]go时，/=0，即 sin(15O7r ]80+卩)=0'-rr!, 兀 • 兀而1奶＜刁・・0=&故所求的解析式为/=3OOsin(15O兀/+効.(2) 依题意，周期卩冬肯，即普冬肯(①＞0)'・・・血$300兀＞942,又eyEN*,故所求最小正整数oj=943.规律方法例题中的函数模型已经给出，观察图像和利用待定系数法可以求出解析式中的未 知参数，从而确定函数解析式.此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读 图、识图、用图是数形结合的有效途径.跟踪演练2弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间/(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距 离A(cm)由下面的函数关系式表示：/7 = 3sin(2/+》)(1) 求小球开始振动的位置；(2) 求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；(3) 经过多长时间小球往返振动一次？(4) 每秒内小球能往返振动多少次？解 ⑴令/=0,得〃=3sin》=车，所以开始振动的位置为(0,誓).(2)由题意知，当h = 3时,/=£,即最高点为点，3)；当〃 =—3时，尸普，即最低点为僚 -3).⑶T=乎=兀〜3.14,即每经过约3.14秒小球往返振动一次.（4）/-亍~（）.318,即每秒内小球往返振动约0.318次.要点三构建函数模型解题例3某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y（米）随着时间/（0WfW24,单位：小时）而周期性变化，每天各时刻f的浪高数据的平均值如下表：/（时）03691215182124尹（米）1.01.41.00.61.01.40.90.51.0（1）试在图中描出所给点；⑵观察图，从y=at+b, y=As\n（cot+（p）+b, y=^cos（co/+^）中选择一个合适的函数模型， 并求出该拟合模型的解析式；（3）如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的 训练时间.解（1）描出所给点如图所示:⑵由⑴知选择y=Asm（cot+（p） + b较合适. 令力 >0, 69>0, |奶<71.由图知，力=0.4, b=l, T—12,所以 3一 丁 =&. 把 r=0, y=l 代入y=0.4sin（号+卩）+1,得 0 = 0.故所求拟合模型的解析式为y=0.4si请f+l（0W/W24）.⑶由尹=0.4s谛+1M0.8,得si请则一¥+2htW罟£普+2刼（胆Z）,即 12£—lWfW12£+7 伙 WZ）,注意到re[0,24],所以 0W/W7,或 11W/W19,或 23W/W24.再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当.规律方法 数据拟合问题实质上是根据题目提供的数据画出简图，求相关三角函数的解析式 进而研究实际问题.在求解具体问题吋需弄清力，卩的具体含义，只有把握了这三个参数 的含义，才可以实现符号语言（解析式）与图形语言（函数图像）之间的相互转化.处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤：1. 根据原始数据给出散点图.2. 通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.3. 根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.4. 利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.跟踪演练3如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，英中圆心O距离地 面40.5米，半径为40米.如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变 化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：⑴求出你与地面的距离列米）与时间/（分钟）的函数关系式；（2）当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？解（1）由已知可设尹=40.5—40cos曲，&0,白周期为12分钟可知，当/=6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以即（o=l所以 y=40・5—40cos g/（&0）・、 71 7T（2）设转第1圈时，第/（）分钟时距地面60.5米，由60.5=40.5—40cos 0）,得8習）=—㊁，所 以旨普或专普，解得Zo=4或所以/=8（分钟）时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了 12 + 8=20（分 钟）.歹当堂检测/ 当堂训练，体验成功 1. 方程|x| = COSX 在（一8, +8）内（ ）A.没有根 B.有且仅有一个根C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根答案C2. 如图所示，设点A是单位圆上的一定点,动点P从点4出发在凰上按逆时针方向旋转一周, 点P所旋转过的弧WP的长为弦力卩的长为乩 则函数〃=/（/）的图像大致是（）答案C解析 〃=/{/）=2sin3. 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈/«=Jsin （cox+（p）+B（A>Of e>0, |奶弓）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最 低为5千元，根据以上条件可确定/（X）的解析式为 ・答案/（x）=2sin僚一另+ 7A+B=9,解析由条件可知 , ・・・B=7, A=2.l~A+B=5f又 T=2（7—3）=8,才,令 3X^+0号，：.