疱丁巧解牛知识•巧学•升华一、指数函数及其性质1. 指数函数的定义一般地，函数y二a* （a>0且aHl, xWR）叫做指数惭数，其中x是自变量. 由于当a=0时，若x>0, a'恒等于0；若xWO, a*无意义.当a<0时，如y二（-2） %,对x二…，-丄，—,—,…在实数范围内函数值不存在.2 4 2当沪1时，y=lx=l,是一常量，没有研究的必要.综上可知，当“W0或21时，不是没 有意义，就是没有研究的必要，故规定a>0且aHl.只有形如y=ax （a>0且aHl）且定义域为R的函数，才是指数函数，又如y=3 - 2X, y=2x-l, y=2x+1等，是由指数函数经过某种变换而得到的，它们都不是指数函数.要点提示 因为指数的概念已经从整数扩充到实数，在底数“>0且aHl的情况下，对 任意一个x都有唯一确定的值y与它对应，所以x是任意实数.2. 指数函数的图象和性质（1）下面先画指数函数y=2*及y=0.5x图象列出x,y的对应值表，用描点法化出图象:要点提示函数y=a'与严f的图象关于y轴对称.（2）指数函数y二/在底数“>1及0V&V1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a>l0\) 鬥1/(o
XX性质①定义域：R②值域：（0, +8）③过点（0, 1）,即x=0时，y=l④在R上是增函数， 当 xVO 时，OVyVl； 当 x>0 时，y>l④在R上是减函数， 当 xVO 时，y>2； 当 x>0 时，OVyVl指数函数的单调性是指数函数性质小应用最广的，运用此性质可以求与指数函数有关的 一般函数的值域、单调区间等.指数函数的图象变换有两种：-•种是平移变换分上下、左右平移，遵循“左加右减，上 加下减”.平移前后的形状没有发生变化，只是位置改变了；另一种是对称变换，它会导致 前后的形状发生明显改变.指数函数的图彖变换可以推广到我们学过的任何函数.研究函数的性质，可明确图象的形状;通过函数的图象可以进一步加深对性质的理解•二 者相辅相成、缺一不可，可通过解决函数的图象來解决与方程和不等式有关的问题，这时作 函数的图象应明确其图象的形状，而确定形状的手段主要有：断数关系式的等价变形、图象 的变换、通过研究函数的性质等.要点提示①指数函数的图象恒在X轴上方；②指数函数的单调性取决于它的底数;③ y=ax(a>l )在x>0的方向上增幅越来越快;④指数函数由唯一的常量a确定.⑤y=cix(O0且aH 1}),图象始终过定点(0, 1), 图象始终在x轴的上方；当a>l时笫一象限的图象与0W1时笫二象限的图象始终在直线 y=l的上方，当a>l时第二象限的图象与Ovavl时第一彖限的图彖始终在直线y=l的下方， 当a>l时，图象是上升的，当0。
<1时，图象是下降的.所以应用图象进行数形结合，清 晰地刻画了指数函数的性质，它们便于我们记忆起函数性质和变化规律.问题2函数y二少的图象有什么特征？你能根据它的图象指出其值域和单调区间吗？ 思路：函数y=a|x|：其图象是关于y轴対称的，所以只要先把的y轴右边的图象保留， 再将y轴右边部分关于y轴作出对称部分；就得到了尸中的图象.探究:函数尸2冈的图象关于y轴对称，这是因为它的图象由y=2x(x>0)的图彖和y=(^)x(x<0) 的图象合并而成，而y=2" (x>0)与y=(-)x (x<0)的图象关于y轴对称，所以函数y=2凶 的图象关于y轴对称，由图象可知值域是［1,+8)，递增区间为［0,+8),递减区间为(・8,0］ 问题3函数y=ax+h+k(a>0且aHl)的图象恒过点(-h, 1 +k)，为什么?思路：一般地，把函数y=f (x)的图象向右平移m个单位得函数y=f (x-m)的图彖(mW R, mVO就是向右平移|m|个单位)；把函数y二f (x)的图象向上平移n个单位，得到函数 y=f (x) +n的图象(nWR,若n<0,就是向下平移|n|个单位=探究:函数y=ax+h +k(a>0且aHl)的图象可由y=ax(a>0且aHl)的图象向左(当h>0时)或向 右(当h<0时)平移|h|个单位，再向上(当k>0时)或向右(当kvO时)平移|k|个单位而得 到，因为y=ax(a>0且aHl)的图象恒过点(0, 1),所以函数y=ax+h+k(a>0且aHl)的图象恒 过点(-h,l+k).典题・热题・新题例1下列函数中，哪些是指数惭数？①『二4"② y=x° ③ y 二犷 ④ y=4" ⑤ y=(-4)x @y=4x+1 ⑦尸4%+1 ⑧y 二J ⑨ y=4x(x>0)⑩y=(a-l)x(a>l 且 aH2)思路解析：①④⑧⑩为指数函数，英中④丫二严从形式上看不是指数函数，将它变形为y=(4-')\即尸（-）X.它实质上是指数函数.4②中底数X不是常数，而4不是变数；③是-1与指数函数Q的乘积；⑤中底数-4V0;⑥中的 指数是x的函数，不是自变量x；⑦由y=4"向上平移得到的；⑨x的范围不是R. 答案：②③⑤⑥⑦⑨不是指数函数.误区警示 像y=4x+1,y=4x+l的图象可［tl y=2x的图象通过平移或伸缩变换而得到.而尸f 从形式上看不是指数函数，将它变形为尸（J） \即尸（丄）I它实质上是指数函数.a例2若指数函数尸（2a-l） %是减函数.则a的范围是多少？思路解析：由题意可知1 >2a・l>0,得丄VaVl.2答案：丄b>l>c>d>0.答案：a>b>c>d拓展延伸 在同一坐标系中，画出函数y=3x, y= （-） x, y=2x, y= （ ^ ） %的图象，比 一比，看它们Z间有何联系.从图中可以看到，图象向下无限地与x轴靠拢，即x轴是指数函数的渐近线.任何两个 函数图象都是交叉出现的，交叉点是（0, 1）.在y轴的右侧，对同一变量x而言，底数越 大，函数值越大；在y轴的左侧，情况正好相反，即对同一自变量x而言，底数越大，函数 值越小.以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个指数函数的底数的 大小关系.怎样定量分析同一坐标系中底数不同的指数函数的底数的大小呢？我们知道,对指数函数y=ax （a>0且aHl）,当x=l时,y=a,而a恰好是指数函数的底 数，这就启发我们，不妨作直线x=l,它同各个图象相交，交点的纵坐标就是各指数函数的 底数，以此可比较底数的大小.深化升华（1）渐近线是指逐渐靠拢，但永远不能到达的线.（2）从联系的观点研究不同底数的指数函数图象I'可的关系，对深化理解指数函数的图彖和 性质是有帮助的.例4画出下列函数的图象：(1) y=2x-I+2;(2)y=0.5|x|思路解析：利用指数函数的图象及结合函数图象的变换来处理.答案：(1)利用函数y=2"的图象沿x轴正半轴平移一个单位，纵坐标不变，再把所得图象 沿y轴的正半轴平移2个单位，横坐标不变，得到y=2x-*+2的图象，如图⑴(注：画出虚 直线的目的是体现平移变换).(2)由 y=0.5亠0.5\0.5_x作y=0.5x的图象但只取y轴及其右侧部分，再作y=2x x< 0,的图象但只取y轴左侧部分,就得到函数y=0.5|x|的图象，如图(2)所示的实线(注：画出虚线的目的是衬托实线的特征).o T?图(2)深化升华由指数函数的图象，我们还可以总结出图象的变化规律：① 平移规律若己知y二H的图象，则把y揄的图象向左平移b (b>0)个单位，则得到尸严的图 象.把尸护的图象向右平移b (b>0)个单位，则得到y=a"的图象,把尸护的图象向上平 移b (b>0)个单位，则得到y=ax+b的图象把的图象向下平移b (b>0)个单位，则 得到y=ax-b的图象.② 对称规律函数y二2的图象与y二a *的图象关于y轴对称，y二a"的图象与y二a"的图象关于直线x 轴对称.函数y=ax的图象与的图象关于坐标原点对称.函数y=a|x|：其图象是关于y轴对称的，所以只要先把y二F的y轴右边的图象保留；再 将y轴右边部分关于y轴对称；就得到了 y二中的图象.拓展延伸一般地，把函数y二f (x)的图象向右平移m个单位得函数y=f (x-m)的图 象(mGR, m<0就是向右平移|m|个单位)；把函数y=f (x)的图象向上平移n个单位，得 到函数y=f (x) +n的图象(nWR,若n<0,就是向下平移|n|个单位=.函数y二f (x)的图彖与y二f (-x)的图彖关于y轴对称，函数y=f (x)的图象与函数y=-f (x)的图象关于x轴对称，函数y=f (x)的图象与函数y二f (1-x)的图象关于原点对称.函数y=f(|x|)：其图象是关于y轴对称的，所以只要先把y轴右边的图象保留；再将y 轴右边部分关于y轴对称；就得到了 y=f(|x|)的图象.例5用函数单调性定义证明函数f (x) =2*在(・8, +8)上单调递增.思路解析：函数单调递增：x10^f /(兀2)(Xi)0, ・・・f(X1)
/为减函数，所以尸0.5宀"？与-xSxl的单 调性相反.又由u=x2-4x-2= (x-2) 2.6得u=x2-4x-2在(亠,2］为减函数，在［2,+呵为增函 数.所以y=0.5宀"2在(.8,2)为增函数，在［2,+8］为减函数；1 14 1(2)令戸1+—，则y=2：因为尸2"为增函数，所以y=2 “的单调性与u=l +—的单调性相 x x1 i+丄 》同.因为u=l + — (xHO)所以在(・8,0)及(0, +oo)上均为减函数，所以y=2 ”的单调递减X区间为(-8,0)和(0,+ 8).拓展延伸确定函数的单调性，利用复合函数的单调性的方法或可变形函数解析式，。