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1、高等数学(工本)自考题模拟17一、单项选择题丄、设函数f (x, y)在点(纸，y。)处偏导数存在，并且取得极小值，则下列说法正确的是( A. fx(xo，y0) ) 0, fxx(xo，yo)O B fx (x0, yo) =0, fxx(x, yo) 0, fxx (x0, yo) yo) 02、设向量a=3, 2,与z轴正向的夹角为丫，贝满足()A* y kB. y 3、在Oxy坐标面上，设e为单位向量，o为零向量，贝IJ ()A. e -o=0B. e -e=eC. 0xo=OD- exe=e4、极限limTf 0)0sin3(x2 + vr)工+A.等于0B.等于3C.等于3D.不存
2、在5、设向量i+2j +3k与2i+mj + 6k垂且，则m=()A4 B一4C. 10 D10二、填空题6、设积分区域D： x2+y2设工为坐标面及平面y=l, z=1所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分+ 寸 一 z)dxdyp( exM -dx 十(兀少 _ 8iny2丄2、计算J方向.)舟,L是圆周x2 + y2=a2沿逆吋针13、工+ 丄-)判断级数”-1+ 14 W的敛散性.14、求出z=x3+y3-3xy的极值.dz15、己知方程x2+y2 + z2-8z = 0确定函数z=z (x, y),求16、求过点(-1，1, -2)并且与平面2x-y+z-3 = 0和平面x-y=O都
3、平行的直线方程.17、Ax求微分方程VX + V2y* T丿满足条件X-的特解18、计算曲线积分向线段，起点为A(l, 1),终点为B(2, 2).(xz siruy 1)(1文 +丄(14-x2sinxy)d3r心広，其中l是有19、求方程xyFr=yr的通解.20、设f(x)是周期为2口的周期函数，在一个周期-口，口上的表达式为r 2,- “ 兀 W ()/(兀)尤，0 X 7T ，试写出f(X)的傅里叶级数的和函数在x=-ri处的值.21、求II“,其中D是直线y=2, y=x和双曲线xy=l所围成的平面区域.四、综合题z-arctan xff + f4 = o23、设函数y，证明9工“
4、rs22、证明级数讣】7?(十1)的收敛性，并求其和.s25、证明无穷级数5 + 1)!=24、没一物体占有空间区域G= (x, y, z) | 0x2, 0yl, 0z0 X + yu-0,故=3 Um勢牛=3 lim 沁=3iif 0 u令3(x2+y2)=u,则当XtO, y-0时,5、D两向量a与b垂直的充要条件是a -b=0由题意矢H (i+2j+3k) - (2i+mj + 6k)=2 + 2m+18 = 0 in=-10二、填空题6、dff f( rcosd rsinB) rdr7、 x-l=O解析主要考查的知识点为平面方程的求法及特殊位置的平面.要点透析因为所求的平面平行于Ox
5、z坐标面，故设其万程为Ax+D=O,又因为该平面过点（1, 4, -1）,所以A+D=O,即A=-D,因此所求平面方程为x-l = O.8、1, 0, -7解析主要考查的知识点为向量的加减法.要点透析-2a+b=-20, -1, 3 + 1, -2, -1 = 0, 2, -6 + 1, -2,=0, -7 9、y =斗/ +x + C10三、llx计算题设G： 0xl,0z= f(2 -詈阳=f囂心+F丄：_ i i 】、ii甘 q 13. 站十1 力+賞 加，而级数黄发散，由比较判别法得原级数发散. 考点点击本题考查级数的敛散性（比较判别法）14、f （x, y）=x3+y3-3xy *.
6、 f x （x, y）=3x? - 3y, fy （x, y）=3y2 - 3xA=fxx=6x, B=fxy=-3, c=fyy=6yjXgy） = 3, - 3y = 0令八犷_3北二0得驻点（,）（o, o）关于第一个驻点（1, 1）有B2-AC=9-6x6=-270 因此（x, y）在点（1, 1）取得极小值f （1, 1）=1 + 1-3=-1 关于第二个驻点（0, 0）有B2-AC=90,因此f（x, y）在（0, 0）点取不到极值.15、设F（x,y, z） =x2+y2 + z2-8z 贝ljFx=2x, Fy=2y, Fz=2z-8aT _兀=zdz Fv yUk-dy Fl
7、 1 一- w16、两平面的法向量分别为ni=(2, -1, 1) , n2=(l, -1, 0),则所求直线的方向向量i J bv = m X 旳=2 11111 11 - 1 09工丄 1= 3LZ11=壬 + 2故所求的直线方程为 1_1 一血考点点击主要考查的知识点为平面与直线间的关系.17、将方程变形为如X二 + y 呛）一 *,心）f由通解公式得X =討血（刃中（讪如+可丄工1I代入得Q-0所求特解为尤=?P(；rw y) = 1 18、令r,Q(.r, y) = ( 1 + ?:，sinj,v)dv则新-丄22一Aa.y1)+ A ,rJ cosjfv 才(1 十.r sinry
8、) +L (2;rsij)fcry卜丄匸jtos.ry) 即E sin.rv i .rvcDS.rv.ar f 吐.2iin. i?3、I)Ox故曲线积分与路径无关，选取路径如图所示，在线段ACy=l, dy=0.在线段BC上,x=2, dx=0.故/ - 4? (a J shkr L)cLr-r |1 + T$in2ylysin.rcLr -于dT” J 2hId2;I v T I 72业分离变量P即 p=CX,将尸丫勺弋入上式得也两边积分得汁扌C#十G考点点击木题考查平面曲线积分与路径无关.19、令p=yr,代入原方程得xpr=p, 两边积分得lnp=1nx+丄nCi，=C1JT考点点击本
9、题考查y=f (x，y F)型微分方程 20、=-口是f (x)的间断点12 +仃s( “)= V/(亠府 + 0) +/(7| 1 0)=故由收敛定理知ZZ21、积分区域如图所示Snm_ SS* I . 1 yjj $ SS Iw 4 1八+ 1*,所以原级数收敛，且和数ST考点点击本题考查级数的绝对收敛性.四、综合题_ya= _工23、解：.石 _”_#，石 _PT7护芝_ 2型 w _ Z;r.yNW （,r + y）? （J2 + y【F24、由题意知7：11m =弘（北,y,z）di; = ck d川（x + 2；y + z）ck25、解:2），+ 号、）（片二（北 + _L） cbc 二 13 e1 = 1 4-工+ -aw2 +寺才+G, I X | +82s求导“】从而nru i/ c x 1 t V /(w- D!(x)
