第四届“长江杯”全国数学邀请赛九年级试卷 A卷一、选择题（每题5分，共30分）1.关于 x 的方程 m（x+h）2+k=0（m, h, k 均为常数，rr#0）的解是 Xi= - 3, X2=2,则方程 m（x+h - 3）2+k=0 的解是（ ）A. Xi= ■ 6, X2= * 1 B. Xi=0» X2=5 C. Xi= • 3, X2=5 D. Xi= • 6, X2=22.若函数的a变星x的取值范围是全体实数，则c的取值范围是（）A・ B.C. D.3•点是反比例函数在第一彖限内的图像上的一个点，以点 为顶点作等边使 落在轴上，则的面积是（）A.3 B.4C.D.4.如图，在中，以点为圆心， 为半径的圆与 交的长为（）A. B. C.D.5. 如图，由等边三角形.正方形、圆组成的轴对称图案中，等边三角形与三个全等正方形的面积和的比值 为（）A. B.1 C・ D.6. 图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进 行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形，其血积为8+4 ,则图3中线段AB的长为（）A.B.+1 C.-1 D. 2第4题图 第5题图 第6题图二、填空题(每题5分，共30分)7. 在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字，2,4, ,现从口袋中任取-•个小球，并将该小球上的数字作为平而直角坐标系中点P的横坐标，1L点P在反比例函数 图象上，则点P落在正比例函数y=x图象上方的概率是 .8. 边长为1的正方形OA£iCi的顶点片在x轴的正半轴上，如图将正方形绕顶点O顺时针旋 转75。
得正方形OABC,使点B恰好落在凿数y=ax2(a<0)的图象上，则a的值为9•如图，己知抛物线y=x2-2 x,等边AABC的边长为2 ,顶点A在抛物线上滑动，且BC边始终平行水平方向，当AABC在滑动过程中，点B落在坐标轴上时，C点坐标是 10.已知实数x,y满足x2+3x+y-3=0,则x+y的最大值为 11・如图，平行于轴的直线AC分别交抛物线 与 于B、C两点,过点C作y轴的平行线交力于点D,直线DE〃AC・交y?于点C,则12•如图所示，已知二次函数 的图象经过(小0)和(0,・1)两点，则化简代数式三、解答题（共6小题，共60分）13.（本题8分）已知实数 满足求证:14.（木题10分）己知二次函数y =x2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为七、X2, 一元二次方 程x2+b2x+20=0的两实根为X3、X4,且X2-X3=X1-X4=3＞求二次函数的解析式，并写出顶点坐标15.(本题10分)已知:如图，在中,的中点为点(1) 以点 为岡心.3为半径作関,则点 分别与岡 有怎样的位置关系？(2) 若以点 为圆心作圆 ，使 三点中至少有一点在圆 内，且至少有一点在関外，求圆的半径的取值范圉.16. （本题10分）⑴如图1, AACB和ADCE均为等腰直角三角形，KUACB=ZDCE=90%易证ZXACD 空ABCE.如图2,将图1中ADCE绕点C逆时针旋转口。
0＜门＜45）,使ZBED =90°, 乂作ADCE中DE 边上的高CM,请完成图2,并判断线段CM, AE, BE之间的数量关系，并说明理由•（2）如图3,在正方形ABCD 中，CD=若点P满足PD=1,且ZBPD=90°iSUL接写出点A到BP的距离.17. （木题10分）如图，已知抛物线y=ax?+bx+c倂0）的顶点坐标为（4,.）,且与y轴交于点C（0, 2）,与x轴交于A, B两点（点A在点B的 左边）.⑴求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；⑵在⑴中抛物线的对称轴I上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若 不存在，请说明理由；⑶以AB为直径的OM相切丁•点E, CE交x轴于点D,求直线CE的解析式.18. （本题12分）如图1,二次函数Rax? -2ax-3a（a<0）的图彖与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C,顶点为D.（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）;（2）若以AD为直径的圆经过点C.① 求抛物线的函数关系式；② 如图2,点E是y轴负半轴上-•点，连接BE,将AOBE绕平而内某-•点旋转180得到△PMN（点P、 M、N分别和点0、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF丄x轴于点F,若线段MF： BF=1： 2,求点M、N的坐标；③ 点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3,求点Q的坐 标.长江杯九年级数学A卷答案一、选择题题B CC 或 D, CD A A B二、填空题7. 8.9. ( , 0)或(,0）或（)10.4 11.12.三、解答题13.解：因为，所以是-•元二次方程的两个实根，于是该方程的判别式是：,即因为实数，显然应冇•要此两式同时成立，只有 ，从而 ，故上述关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即1 4•解：V X 2 "X 3 =x 1 -X 4 =3x 2 ・x 3 =3, X 1 ・X 4 =3/>X2 -X3 +X1 ・X4 =6 艮卩(Xi +X2)・(X3 +X4 ) =6(x 1 +x2 ) •(x3+x4 ) =-b+b2 =6,即 b2 -b-6=0» 解得：b=-2 或 3 VX2 -X3 =Xi -X4/•|X1 -X2 |=|x3 ・X4 |即 =A9-4c=81-4x20,解得：c=2乂 •・•一元二次方程x 2 +b 2 x+20=0有两实根・•・A=b4 -80>0,当 b=・2, c=2 时,有 y=x2-2x+2, A=4-4x1 x2=-4<0,与 x 轴无交点,Ab=-2不合题意舍去，则解析式为y=x2+3x+2,根据顶点坐标公式可得顶点坐标：( )15.解：(1)根据点与圆的位置关系的判定方法，要判断点A,B,M分别与圆C有怎样的位置关系，只需比较力C,CM,BC与r(=3)的大小关系即可，易求得AC=3, CM= , BC=4,故&点在圆C上，点B在圆C外，点M在圆C内.(2)以点C为圆心作圆C,使三点中至少有一点在圆C内时， 当至少有一点在冏C外时， ，故侧C的半径 的取值范围为16. (1)如图 2,在AACD 和ABCE 中，CD二CD, ZACD=ZBCE, AC=BCAAACD^ABCE (SAS) , AAD=BE, ZBEC=ZADC=135% •••A、D、E 三点共线，VDE=DM+ME=2CM, AAE=BE+2CM； (2) 或17.(1)B (6, 0)；(2)存在，,A(2, 0),如图2,由(1)知：抛物线的对称轴I为 x=4,因为A、B两点关丁・|对称，连接CB交I于点P,则AP=BP,所以AP+CP二BC的值最小VB (6, 0) , C (0, 2)・・・OB=6, OC=2ABC=2・・・AP+CP=BC=2 ,・・・AP+CP的最小值为2 ；(3)如图3,连接ME, VCE是(DM的切线/.MEICE, ZCEM=90°由题意，得 OC=ME=2, ZODC=ZMDE•・•在ACOD与厶MED中Z.ACOD^AMED (AAS) , AOD=DE. DC=DM,设 OD=x,则 CD=DM=OM-OD=4-x则 RtACOD 中，OD2+OC2=CD2, Z.x2+22= (4-x) 2Ax= , AD ( , 0)设直线CE的解析式为y=kx+b,V直线CE过C (0, 2) , D ( , 0)两点,则 ，解得： ・•・直线CE的解析式为y= x+218. (1) *.• y=ax2-2ax-3a=a (x-1) 2-4a,AD (1, -4a).(2)①・・•以AD为直径的圆经过点C,•••△ACD为直角三角形,且ZACD=90°；由 y=ax2-2ax-3a=a (x-3) (x+1)知，A (3, 0)、B (-1, 0)、C (0, -3a),贝！I：AC2= (0-3) 2+ (-3a-0) 2=9a2+9> CD2= (0-1) 2+ (-3a+4a) 2=a2+1 > AD2= (3-1) 2+ (0+4a) 2=16a2+4 由勾股定理得：AC2+CD2=AD2,即：9a2+9+a2+1=16a2+4,化简，得：a2=1» 由 a<0,得：a=-1即，抛物线的解析式:y=-x2+2x+3.②•・•将AOBE绕平面内某一点旋转180。
得到△PMN,・・・PM〃x轴,且PM=OB=1；设 M (x, -x2+2x+3),则 OF=x, MF=-x2+2x+3, BF=OF+OB=x+1 : VMF： BF=1： 2,即 BF=2MF,：.2 (-x2+2x+3) =x+1,化简，得：2x2-3x-5=0解得：Xi=-1 > X2=AM ( , )、N (, ).③设OQ与直线CD的切点为G,连接QG,过C作CH丄QD于H,如右图；设 Q (1, b),则 QD=4-b, QB2=QG2= (1+1) 2+ (b-0) 2=b2+4；VC (0, 3)、D (1, 4),ACH=DH=1,即ZXCHD是等腰直角三角形，•••△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；代入数据，得：(4-b) 2=2 (b2+4),化简，得:b2+8b-8=0,解得：b=-4±2 :即点Q的坐标为(1, -4+2 )或(1, -4-2 )。