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1、 希望杯竞赛数学试题详解(51-60题) 题51 Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is .(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|
2、的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .解 在椭圆18922=+y x 中，8,922=b a ，则1,12=c c ，所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率31=a c e ， 右准线9:2=ca x l ，显然点P （6，2）在椭圆18922=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG l 于G ，MD l 于D ，过点P 作PQ MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为
3、2，设M的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有184920=+x ，解得2230=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（223，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF |-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为|MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展 将此题引伸拓广，可得定理 M 是椭圆E ：)0(12222=+b a by a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定
4、点.1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m c a -2；当F 是左焦 点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca +2. -3 O 1 3 6 9 xM M Q DyP GlF2、 若点P 在椭圆E 外，则F 是右焦点，且0m c a 2，|n|b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a -2. F 是右焦点，且mc a 2，|n|b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c a m 2-.F 是左焦点，且c a 2-m 0，|n|b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a +2. F 是左焦点，且m c a 2-，|n
5、|b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是ca m 2-.简证 1、如图1，作MN 右准线l 于N ，PQ l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=e1|MF|. e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|PQ|=m ca +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.2、 如图3，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R
6、重合时取等号.如图4，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2-，当且仅当P 位于直线MN 上，即点P 与Q重合时取等号.m O m F xM N yP M Q l图1F m O xN M yQ M Pl图2O F m xM M N QyPl图4如图5，e1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca +2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.如图6，|MP|-e1|MF|=|MP|-|MN|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2-，当且仅当P 位于直线MN 上，即点P 与Q 重合时取等号
7、.题52 已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k的值等于（ ）A 、32B 、34C 、45D54 （第十五届高二培训题第19题）解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-22上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为P （x,y ）,则12200=+-+y y x x ，又10-=-x x y y ，解、联立方程组得0011x y y x =+?=-?.P 点在双曲线k y x =-22上，k y x =-2020 .代入，得k x y =-+22)1()1( ，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y,代入并整理，得
8、01232=-+-k y y .由题意，=4-12（k-1）=0，解得k=34，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由=0便可求得k 的值. 拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.mO F m
9、xM M R NyP Ql图3m F O xQ PyN R M M l 图5m F OxPyQ N M M l图66、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组?-=-=+?+?)()(022*0x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.题53 21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，B A ,两点
10、在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是_.（第四届高二第二试第15题）解 双曲线3322=-y x ,即1322=-y x，如图，B A ,在双曲线右支上，3221=-AF AF ,3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准线，l BD l AC ,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF =22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB 时，MN 取最小值21232=-，这时，22BF AF +取得最小值322=
11、MN e ,从而11BF AF +取最小值33143234=+. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB 时MN 最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.拓展 将本题中的双曲线一般化，便得定理 1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则B F A F 11+的最小值是ab a 224+.
12、仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为3314312342=?+?. xAM yOBCD NF 1F 2 l题54 方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是 ( )A 、直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题） 解法1 由()()|3|2222+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则()()()()012102=-+-+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=-+-v v u u ，即()()9322
13、222-=+-v u ，故已知方程表示双曲线，选C.解法2 已知方程就是()()2|3|22222+-?=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12，所以选C. 评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-
14、y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用.拓展 将此题一般化，我们有下面的定理 若()()|22C By Ax b y a x +=-+-（b a C B A 、为常数，且B A 、不全为零），则（1）当1022+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=+C By Ax 为相应准线的双曲线.（3）当122=+B A 且0=+c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=+C By Ax 垂直的直线.（4）当122=+B A 且0+c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=+C By Ax 为准线的抛物线.读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理.题 55 已知1x ，则动点A ?-+x x x x 1,1与点B （1，0）的距离的最小值是_. （第七届高二第一试第23题）解法1 由已知得2222111101AB x x x x x x ?=+-+-=+- ? ? ?
