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1、2005年考研数学（四）试题解析一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限= 2 .【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 =【评注】 若在某变化过程下，则（2） 微分方程满足初始条件的特解为 .【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 ，积分得 ，代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.【评注】 本题虽属基本题型， 也可先变形 ，再积分求解.（3）设二元函数，则 .【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】 , ,于是 .（4）设行向量组，线性相关，且，则a= .【分析】 四个4维向量线性相关
2、，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】 由题设，有 , 得，但题设，故.【评注】 当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性.（5）设均为3维列向量，记矩阵 ， 如果，那么 2 .【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 =，于是有 【评注】 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地，若 ， ，则有 （6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则= .【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试
3、验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 =+ + =【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是考查的重点.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 =，知可能极值点为x=1,x=2，且 ，可见
4、当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).【评注】 对于三次多项式函数f(x)=,当两个极值同号时，函数f(x) 只有一个零点；当两个极值异号时，函数f(x) 有三个零点；当两个极值有一为零时，函数f(x) 有两个零点.（8）设,其中，则(A) . （B）.(C) . (D) . A 【分析】 关键在于比较、与在区域上的大小.【详解】 在区域上，有，从而有 由于cosx在 上为单调减函数，于是 因此 ，故应选(A).【评注】 本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论.（9）下列结论中正确的是 (A) 与都收敛. （B）与都发散.(C) 发散
5、，收敛. (D) 收敛，发散. D 【分析】 直接计算相应积分，判定其敛散性即可.【详解】 =，积分收敛， =，积分发散.故应选(D).【评注】 广义积分敛散性的判断，一般只要求掌握通过计算能判定的情形.（10）设,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，是极小值. （B） f(0)是极小值，是极大值.（C） f(0)是极大值，也是极大值. (D) f(0)是极小值，也是极小值. B 【分析】 先求出，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 ，显然 ，又 ，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).【评注】 本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件.（11）以下四个命题中，正确的是(A
6、) 若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界. (D) 若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界. C 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】 设f(x)=, 则f(x)及均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又在（0，1）内有界，但在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C). 【评注】 本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有 在(0,1)之间，由此容易推知若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.
7、 （12）设A,B,C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA，则B-C为(A) E. （B）-E. （C）A. (D) -A A 【分析】 利用矩阵运算进行分析即可.【详解】 由B=E+AB,C=A+CA，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A,可见，E-A与B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E.从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A可逆，故 B-C=E. 应选(A).【评注】 本题考查矩阵运算性质，注意当(E-A)B=E时，表明E-A,B均可逆，且互为逆矩阵，从而利用逆矩阵的定义，它们还可互换.（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0
8、1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 B 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有 ，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).【评注】 本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求的基本内容.（14） 设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记为标
9、准正态分布函数，则(A) . (B) .(C)(D) C 【分析】 只需求出的期望与方差，再根据中心极限定理将其标准化即可.【详解】 由题设，于是 ， ，根据中心极限定理，知 其极限分布服从标准正态分布，故应选(C).【评注】 本题考查中心极限定理，应注意中心极限定理的条件和结论，特别是注意结论之间的转换.三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求 【分析】 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 = = =【评注】 本题属基本题型，在里用罗必塔法则求极限的过程中，应注意利用无穷小量的等价代换进行简化.（16）（本题满分
10、8分）设f(u)具有二阶连续导数，且，求 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】 由已知条件可得 ， ， ，所以 =【评注】 本题属基本题型，但在求偏导数的过程中应注意计算的准确性.（17）（本题满分9分） 计算二重积分，其中.【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记，于是 =+=【评注】 形如积分、等的被积函数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分.（18）（本题满分9分）求f(x,y)=在椭圆域上的最大值和最小值.【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最
11、大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值.【详解】 令得可能极值点为x=0,y=0. 且 ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线上的情形：令拉格朗日函数为 ，解 得可能极值点； 代入f(x,y)得 ，可见z=f(x,y)在区域内的最大值为3，最小值为-2.【评注】 本题综合考查了多元函数微分学的知识，涉及到多个重要基础概念，特别是通过偏导数反求函数关系，要求考生真正理解并掌握了相关知识.当在区域边界上求极值时，也可将代入f(x,y)=,转化为一元函数求极值.（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在0，1
12、上的导数连续，且f(0)=0,.证明：对任何a,有 【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论. 【详解】 方法一：设，则F(x)在0，1上的导数连续，并且，由于时，因此，即F(x)在0，1上单调递减.注意到 ，而 =，故F(1)=0.因此时，由此可得对任何，有 方法二： =， = 由于时，因此 ， ，从而 【评注】 对于积分不等式的证明，主要有两个途径：一是转化为函数不等式，二是通过恒等变形，如变量代换、分部积分等，再用积分的不等式性质进行讨论.（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组 （i） 和（ii） 同解，求a,b, c的值.【分析】 方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可.【详解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于
