《浅谈数形结合思想（终稿）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈数形结合思想（终稿）（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、浅谈数形结合思想【摘要】本文主要介绍怎样应用数形结合来解决一些数学问题，及其应注意的事项。f关键词】数形结合；数形结合思想；以形助数；以数解形中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的, 这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合白般好, 隔裂分家万事非。” “数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主 要指的是数与形Z间的一一对应关系。数形结合就是把抽彖的数学语言、数量关系与直观的 儿何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思 维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化
2、，从而起到优化解题途径的目的。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致乂可分为两种情形：或者借助于数的精确 性来阐明形的某些属性，或者借助形的儿何直观性来阐明数Z间某种关系，即数形结合包括 两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是 有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律來，这时就需要给图形赋值，如边长、角 度等等，特别是在做选择题时，只有一个答案是正确答案，用此种方法就可能起到意想不到 的效果。rh于这“以数解形”比鮫简单，所以这里就不多做介绍了。“以形助数”是指把抽 象的数学语言转化为立观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。学生通常把“
3、数 形结合”就理解为“以形助数”，也可以这么说，理解了并掌握了 “以形助数”这种思想方 法，就是理解了 “数形结合”。“以形助数”中的“形”,或有形或无形。若有形，贝何为 图表模型，若无形，则可另行构造或联想。因此“以形辅数”的途径大体有三种：一是运 用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的儿何意义。以下我将从“数形结合”在哪些 题型中可以应用和使用“数形结合”时要注意哪些事项这两个方面来具体介绍数形结合这种 思想方法。1.数形结合思想的应用1.1在方程、函数问题中的应用方程f(x) -g(x) = 0的解情况,可化为f(x)=g(x)的解情况，也可看作函数y = f(x) Ly二g(x)图像
4、的交点的横处标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再 根据图像就能很容易地看出它们有儿个交点，及交点大致的位置或处标，还有一些其它的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。对于计算题，我们也可以川 数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以川来检查自己到底佇没有做错。例1 抛物线J = ax2 + /?X + C与X轴的两个交点为A、B,点Q（4, 8k）在抛物线 上且AQ丄BQ,则亦=（）A、一l B、1C、2D、3分析 这样的题目，用常规的解法很难找到突破口。如图1-1所示：我们不难发现， 不论函数图像开口向上还是向下，a , k总是异号的，即看看各
5、个备选项，不难发 现只有A表示的是小于0的。故本题选（A） 0例2 方稈lgx = 3（兀+ 3）（兀+ 1）（兀-1）（兀-3）的实数根个数有（）A、 1 B、 2 C、 3 D、 4分析 直接去解这个方程，对于中学学牛来说是不可能的事。判断原方程的根的个数就 是判断图像yy图IT图1-3y = lgx与y = 3（兀+ 3）（x +1）（兀一 1）（兀一3）的交点个数，画出这两个函数图像（图1-2）,从图形中我们很明显地知道这两个图像只有两个交点，故本题选（B）。例3 若关于x的方程/（兀）+ F + 2kx - 3k的两根都在1与3之间，求k的取值范围？分析 令f（x） + x2 +2k
6、x-3k,如图1-3所示，其图像与x轴交点的横处标就是方程f（x）=O的解,要使两根都在1, 3之间,只需f（l）0, f（3）0,-bf（_）=/（-jt）0, l-k3 同时成立，解得 3k9满足的平面区域，Z = ax + by的最值问题时，因为该式口J化为 歹=兰兀+丄z，Hb是常数，所以求z的最值就是求丄z也就是直线在y轴上的纵截距的 b hb最值。因为已知(兀y)满足的平血区域，区域是有范围的，所以我们只要对直线做平移，移 到区域的边界即相切时，就可以求出其纵截距的最值。其实，这种问题就是一个线性规划最 优化问题，它的解法就是线性规划最优化问题的解决方法z。1.2.4利用圆锥曲线定
7、义求最值例 7 己知 | x+3+yi | + |x-3+yi | 二 10(x, y g R)求 14x+5y | 最值?分析 设z = x + yi (x, y e R),则满足已知条件的点z的轨迹为椭圆，易求得其方程2 2y = 4 si n。,代入得 | 4x + 5y|I 4x + 5y| = |为 + - = 1此椭圆的参数方程为X = 5cos e2516得20cos e + 20sine | = | 20-2 si门(0 + 兀/4)| 由此易求得 |4x + 5y|林=20血 而I 4x + 5y | min 二-20/2像这样的题目中，有时用复数z表示的式子，或把它转化为坐
8、标式，满足条件的z的轨 迹本身就是一条圜锥曲线，这时我们就可以用它的参数表达式來代替，从而简化了原來的问 题，减少了计算量。这样的题目，我们用这种方法就起到了化繁为简的效果。1.2.5构造空间图形求最值例 8 锐角 a , B, Y 满足 cos2 a +cos2 3 +cos2 Y =1 求 tga x tg/3 x tgy 的最小值? 分析 据已知条件锐角a , B , Y满足cos2 a +cos2 B +cos2 Y =1构造长方体ABCDaa2 +/?()+c2 ? c可能也会舉爲确，但都比AbCD,如图1-7所示，设其体对角线BD与棱B】B, BA, BG所成的角分别为a, B,
9、Y来行论证倒非常便捷。令BiB=a, BiAi=b, BQ二c,则cos2 a =cos2 P = ，cos* Y+ 漏;；Ftga卩削=+冷2bc J2ac2ab ?近 a b c对于一些有关三角函数的问题，若直接用三如变换来解答, 较复杂，而且计算量很人，如另辟捷径，根据已知的条件，如角所满足的条件来构造某些儿 何图形(特别是长方形)，使得其中含有已知的角，我们对图形的边长进行赋值，这样三角 函数的问题就转化成不等式的问题，再根据重要的不等式，就会很容易地解决问题。不同的 已知条件，就要构造不同的图形或模型，这就要求我们要充分了解已知条件内隐含的信息, 同吋根据我们平吋不断积累起来的经验,构造出合理的图形来，这才会起到事半功倍的效果, 不然就构造模型就会浪费很多的经丿力。1.3在不等式问题中的应用例9 不等式兀丄的解集是？兀1.一 、分析 令f(X)二x, g(x)二,在同一坐标系中画出这两兀1函数图像。如图1-8所示，山图像町知：不等式兀一的解集x为(-1, 0) U (1, +8)。这类求解像f(x)g(x)这样的不等式，跟上面所提的方程f(x)=g(x)的类似，方程问题 的是看两个函数图像令儿个交点这类的信息，而这甲不等式问题的是看不同的区间内，两个 函数图像谁上谁下，从而知道谁人谁小了，也就是不等式的解区问了，区间的端点就是方程问题所要讨论的。1.
