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1、高二数学必修四课件合集为传承文明，践行美德，实现我们的梦想而努力奋斗。下面xx小编为您推荐高二数学必修四课件合集，希望对您有所帮助 【课件一】 预习课本P103105，思考并完成以下问题 （1）怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗? （2）向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么? （3）向量数量积的性质有哪些? （4）向量数量积的运算律有哪些? 新知初探 1.向量的数量积的定义 （1）两个非零向量的数量积： 已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为 定义a与b的数量积（或内积）是数量|a|b|cos 记法a b=|a|b|cos （2）零向量与任一向量的数量积：
2、 规定：零向量与任一向量的数量积均为0. 点睛（1）两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定. （2）两个向量的数量积记作a b，千万不能写成a b的形式. 2.向量的数量积的几何意义 （1）投影的概念： 向量b在a的方向上的投影为|b|cos . 向量a在b的方向上的投影为|a|cos . （2）数量积的几何意义： 数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 点睛（1）b在a方向上的投影为|b|cos （ 是a与b的夹角），也可以写成a b|a|. （2）投影是一个数量，不是向量，其值可
3、为正，可为负，也可为零. 3.向量数量积的性质 设a与b都是非零向量， 为a与b的夹角. （1）a b a b=0. （2）当a与b同向时，a b=|a|b|， 当a与b反向时，a b=-|a|b|. （3）a a=|a|2或|a|=a a=a2. （4）cos =a b|a|b|. （5）|a b| |a|b|. 点睛对于性质（1），可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直. 4.向量数量积的运算律 （1）a b=b a（交换律）. （2）（ a） b= （a b）=a （ b）（结合律）. （3）（a+b）
4、c=a c+b c（分配律）. 点睛（1）向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a c=b c，但得不到a=b. （2）（a b） c a （b c），因为a b，b c是数量积，是实数，不是向量，所以（a b） c与向量c共线，a （b c）与向量a共线，因此，（a b） c=a （b c）在一般情况下不成立. 小试身手 1.判断下列命题是否正确.（正确的打 ，错误的打 ） （1）两个向量的数量积仍然是向量.（） （2）若a b=b c，则一定有a=c.（） （3）若a，b反向，则a b=-|a|b|.（） （4）若a b=0，则a b.（） 答案：（1） （2） （3） （
5、4） 2.若|a|=2，|b|=12，a与b的夹角为60 ，则a b=（） A.2B.12 C.1D.14 答案：B 3.已知|a|=10，|b|=12，且（3a） 15b=-36，则a与b的夹角为（） A.60 B.120 C.135 D.150 答案：B 4.已知a，b的夹角为 ，|a|=2，|b|=3. （1）若 =135 ，则a b=_； （2）若ab，则a b=_； （3）若a b，则a b=_. 答案：（1）-32（2）6或-6（3）0 向量数量积的运算 典例（1）已知向量a与b的夹角为120 ，且|a|=4，|b|=2，求：a b；（a+b） （a-2b）. （2）如图，正三角形
6、ABC的边长为2，=c，=a，=b，求a b+b c+c a. 解（1）由已知得a b=|a|b|cos =4 2 cos120 =-4. （a+b） （a-2b）=a2-a b-2b2=16-（-4）-2 4=12. （2）|a|=|b|=|c|=2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120 ， a b+b c+c a=2 2 cos120 3=-3. 向量数量积的求法 （1）求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键. （2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法 运算. 活学活用 已知|a|=3，|b|=4
7、，a与b的夹角为120 ，求： （1）a b；（2）a2-b2； （3）（2a-b） （a+3b）. 解：（1）a b=|a|b|cos120 =3 4 -12=-6. （2）a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7. （3）（2a-b） （a+3b）=2a2+5a b-3b2 =2|a|2+5|a|b| cos120 -3|b|2 =2 32+5 3 4 -12-3 42=-60. 与向量的模有关的问题 典例（1）（浙江高考）已知e1，e2是平面单位向量，且e1 e2=12.若平面向量b满足b e1=b e2=1，则|b|=_. （2）已知向量a，b的夹角为45 ，且|a|=1，|2
8、a-b|=10，则|b|=_. 解析（1）令e1与e2的夹角为 ， e1 e2=|e1| |e2|cos =cos =12. 又0 180 ， =60 . b （e1-e2）=0， b与e1，e2的夹角均为30 ， b e1=|b|e1|cos30 =1， 从而|b|=1cos30 =233. （2）a，b的夹角为45 ，|a|=1， a b=|a|b|cos45 =22|b|， |2a-b|2=4-4 22|b|+|b|2=10， |b|=32. 答案（1）233（2）32 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方
9、. （2）a a=a2=|a|2或|a|=a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 活学活用 已知向量a，b满足|a|=|b|=5，且a与b的夹角为60 ，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|. 解：|a+b|2=（a+b）2=（a+b）（a+b） =|a|2+|b|2+2a b=25+25+2|a|b|cos60 =50+2 5 5 12=75， |a+b|=53. |a-b|2=（a-b）2=（a-b）（a-b） =|a|2+|b|2-2a b =|a|2+|b|2-2|a|b|cos60 =25， |a-b|=5. |2a+b|2=（2a+b）（2a+b） =4|a|2+|b|2+
10、4a b =4|a|2+|b|2+4|a|b|cos60 =175， |2a+b|=57. 两个向量的夹角和垂直 题点一：求两向量的夹角 1.（重庆高考）已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，且a （2a+b），则a与b的夹角为（） A. 3B. 2 C.2 3D.5 6 解析：选Ca （2a+b）， a （2a+b）=0， 2|a|2+a b=0， 即2|a|2+|a|b|cosa，b=0. |b|=4|a|， 2|a|2+4|a|2cosa，b=0， cosa，b=-12， a，b=2 3. 题点二：证明两向量垂直 2.已知向量a，b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：（a+b）
11、 （a-b）. 证明：|2a+b|=|a+2b|， （2a+b）2=（a+2b）2. 即4a2+4a b+b2=a2+4a b+4b2， a2=b2. （a+b） （a-b）=a2-b2=0. 又a与b不共线，a+b 0，a-b 0， （a+b） （a-b）. 题点三：利用夹角和垂直求参数 3.已知a b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直，则k的值为（） A.-32B.32 C. 32D.1 解析：选B3a+2b与ka-b互相垂直， （3a+2b） （ka-b）=0， 3ka2+（2k-3）a b-2b2=0. a b， a b=0， 又|a|=2，|b|=3， 12k
12、-18=0，k=32. 求向量a与b夹角的思路 （1）求向量夹角的关键是计算a b及|a|b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cos =a b|a|b|，最后借助 0， ，求出 的值. （2）在个别含有|a|，|b|与a b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos 的值. 层级一学业水平达标 1.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a b=2，则a与b的夹角 为（） A. 6B. 4 C. 3D. 2 解析：选C由题意，知a b=|a|b|cos =4cos =2，又0 ，所以 = 3. 2.已知|b|=3，a在b方向上的投影为32，则a b等于（） A.3B.92 C.2D.12 解析：选B设a与b的夹角为 .|a|cos =32， a b=|a|b|cos =3 32=92. 3.已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90 ，c=2a+3b，d=ka-4b，c与d垂直，则k的值为（） A.-6B.6 C.3D.-3 解析：选Bc d=0， （2a+3b） （ka-4b）=0， 2ka
