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1、二次函数零点问题【探究拓展】 探究1：设“兀2分别是实系数元二次方程dx+bx + c- 0和-ax2 +/% + ? = 0的一个根，且X, X2,XX2工0,求证：方程纟兀2 + bx + c = 0有且仅有一根介于旺,兀2之间.变式1：已知函数fix)=ax2+4x4-b(a0, 、bWR),设关于x的方程/(x) = 0的两实根为 Xi、x2,方程./(x)=x的两实根为a、0.(1) 若|a川=1,求a、b的关系式；(2) 若a、b均为负整数，且|a0|=1,求.心)的解析式；(3) 若 al2,求证：(X| +1)(2 +1)O,cvO,Q+b + c = O,且方程 f(x) =
2、 -a 有实根.(1) 求证：函数/任)在(0,+oo)上是增函数.(2) 设函数g(x) = f (x) + bx的零点为西和勺，求证：|Xj -x21 2.变式 3：设函数 fx)=ax2+bx+c,且/(1)=, 3a2c2b,求证：(1) a0 且3%v_才;(2) 函数./(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；(3) 设XI、X2是函数/(X)的两个零点，则y2xi X2 0)且/(1) = (1) 求证：函数/(x)有两个零点；(2) 设西宀是函数/的两个零点，求|x,-x2|的取值范围;(3) 求证：函数/(X)的零点州,兀至少有一个在区间(，2)内.Ay 1 探究2：已知方程
3、；：=兀有两个不相等的实数根.a2x + 2b(1) 求2的取值范围；a(2) 求证：函数/(兀)= 0?+加+ i在区间(_1)上是单调函数.h* I变式：已知二次函数f(x) = ax2 +加+1和g(x)=a x + 2b(1) 若/(兀)为偶函数，试判断g(兀)的奇偶性；(2) 若方程g(x) = x有两个不相等的实根，当a0时判断/在(-1,1)上的单调性;(3) 若方程g(x) = x的两个不相等的实根为x1?x2, /(x) = 0的两实根为x3,x4,求使得x3 X, x2 工4成立的Q的取值范围.探究3：二次函数/(x) = x2 4-ax + a ,方程/(x) -x =
4、0的两根兀和七满足0 xx2(1)求实数Q的取值范围；(2)试比较/(0)广(1)-广(0)与丄的大小.并说明理由 16变式：已知/(x) = 1 - (x- a)(x-b)(a b),加/是/(x)的零点，m n ,则a,b,m,n从小到大的顺序为探究4：已知a是实数,函数f (x) = 2ax2 + 2x- 3 - 7,如果函数y- f(x)在区间一1,1上有零点，求Q的取值范围 解析1：函数y = f(x)在区间卜1, 1上有零点，即方程/(x) = 2r+2x-3-=0在卜1, 1上有解.a=0时，不符合题意，所以工0,方程/(兀)=0在-1, 1上有解=/(- 1)/(1)S 0或土
5、乜或心o* 土乜2 2或1.妙 0 = 4 + 8d(3 + G)20 olW5 或 *所以实数a的取值范围是。 土 或必1.点评：通过数形结合來解决一元二次方程根的分布问题.解析2： 67=0时，不符合题意，所以好0,又1 ? 丫2 _ A f(x) = 2ax3 综合1), 2), 3),得d的取值范围为(仝-)U (-, +oo). 52x-3-a= 0 在卜 1, 1上有解，/7)时，炉v(),此函数g(t)单调递减，re(V7,5时，g0,此函数 trg单调递增，尹的取值范围是-3,1,/(x) = 2尼+2x_3-q = 0在卜1, 1上有解U丄丘 a77-3,12点评：将原题中的
6、方程化成丄=竺二1的形式，问题转化为求函数7=生二1卜1, 1上的值域的问题,是解析 a 3- 2x3-2x2的思路走向.变式1：已知函数f(x) = cix2-2x-4a + 3(1) 求证：函数p=/(x)的图象恒过两个定点.(2) 若y =J(x)在(1, 3)内有零点，求a的取值范围.(1) 设尹=ax2 一 2x 4a + 3 ,艮卩尹=a(x2 一 4) 2x + 3 令x = 4,得x = -2或2则函数y-Ax)的图象恒过定点(-2, 7), (2, -1).(2) 7(-2) = 7 0, X2) = -1 0,抛物线开口向上， =./在(1, 3)内有零点，当且仅当7(1)
7、 0,或,/(3)0.贝IJ/(l) = G 2 4a + 3 = 3d + l0,或/(3) = 9a 6 4a + 3 = 5 3 0 八1 十 3352) 若。0-即 /(l) = Q 2 4a + 3 = 3a + l 0a 、结合 q 0,得 a 0的解集是(-1,3),求实数的值；(2) 若Q为整数，b = a + 2,且函数/(x)在(-2,-1)上恰有一个零点，求Q的值.探究5：已知函数/(X)= 2x2 + (4 - m)x + 4 - m , g(x) = mx,若对于任意的实数x, /(x)与gd)的值至少有一个为正数，则实数加的取值范围是变式1：已知函数f(x)=2mx
8、2-2(4-m)x+l, g(x)=mx,若对于任一实数x, f(x)与g (x)的值至少有一个为 正数，则实数加的取值范围是.(0,8)分析：问题可转化为数学符号语言：已知函数/(x) = 2mx 2(4 m)x+1, g(x) = ?x, Vxg R, /(x)0或 g(x)0”，求实数加的取值范围.不难发现，若利用上述解法3,采用对立转化法，即可设命题q*R、 /(X)0 或 g(x)0;贝 I命题-1R , 一 若命题 F 成立时：g(x)S0首先，当加=0时，f = _8x+1,存在实数x,使得不等式组成立.其次，当加0时，函数/为开口向下的二次函数，g(x)为人上的减函数且值域为心
9、 必存在xoeR, 使得函数/(x0)0 fig(xo) 0时,g(x)为R上的增函数且值域为R ;若存在实数x使/5 0成立，即要有fmn (x) S ;即可知当命题纟成立时：加丘(2,8).答案错了变式2：设函数/(兀)=/ - qx + q + 3 ,函数g(x) = ax-2a ,若存在x0 G 7?，使得/(兀) v 0与g(x0) v 0同时成立，则实数g的取值范围是挖掘题中隐含条件：存在xoe /?,使得f(xQ) 0,从而对参数的范围进行局部缩小；解析：由 f(x) = x2-ax + a + 3 知/(0) = Q+ 3,/(1) = 4 ,又存在 x0 e R，使得 /(x
10、o) 0 即 a6,另 gM = ax-2a 中恒过(2,0),故由函数 的图象知：若a = 0时，/(x) = F -ox + a + 3 =/+3恒大于0,显然不成立。显然不成立。Q 0若时V(2)7若a v 0时，兀对=4,2解法1 (分离参数法)当xv2, Q0时，或者当x2, QV()时，都有g(x) 0.4- 7Y，4- 2当/(x)v0 时 /+31 时，a-0 ;当 XV1 时，a-0 ;x X 1因此，若丸gT?,使得/(x0)0与g(x()v0同时成立,则由上分析可知：只有当1 x0 2时，不等式 卫土成立.X。- 1设函数力(X)二,xg(1,2). t = x-(0t7
11、贝U7x 1t解法2 (数形结合法)由于g(x)v0 u 当 a 0 时，x v 2 ；当 a 2 .若存在 x0 e R,使得/(x0) 0 ,即 g 6或gv -2；贝I:1当a6时，由题意可知，3x02, /(xo)3, y = f(x)在(-汽2)上为减函 数，则/V0,即q7.2当av-2时，眺2, /(兀)2, /(x)0,止匕情形下a.综上，a7 .解法3 (对立转化法)命题P：若mxwR,使得/(x0) 0 或 g(x)0 成立.下研究若命题成立时，参数a的取值范围：1当。=0时，VxgR, g(x) 0恒成立，因此，。=0适合题意.2 当 a0时,g(x)0 x2 ;贝lj(-oo,2cx|/(x)0,2 nn2.1 2，即 4 a0Ct2.2 2 ,即 0 vaW4；因此有0vaS7.A0r 、 0 xO,有 2 ，即avO;因此,a0. /(2)0综上，当a7.变式 3：设函数/(x) = / - qx + q + 3 ,函数 g(x) = x-a，若不存在 x。 /?,使得 / (x0) 0 与 g(x0) 0或g(x) 0成立若m = n -3n -a ,则实数d的取值范围是
