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1、线性代数彭玉芳第一章维向量和线性方程组第一页，共七十七页。( (一一) )、二元线性方程组与二阶行列式、二元线性方程组与二阶行列式二元二元线性方程性方程组 由消元法，得由消元法，得当当 时，该方程方程组有唯一解有唯一解 第二页，共七十七页。求解公式求解公式为二元二元线性方程性方程组 请观察，此公式有何特点？察，此公式有何特点？分母相同，由方程分母相同，由方程组的四的四个个系系数数确定确定.分子、分母都是四分子、分母都是四个数个数分成分成两两对相乘再相乘再 相相减减而得而得.第三页，共七十七页。其求解公式其求解公式为二元二元线性方程性方程组 我我们引引进新的符新的符号来号来表示表示“四四个数个数
2、分分成成两两对相乘再相相乘再相减减”. .记号号 数数表表 表表达达式式 称称为由由该数数表所确定的二表所确定的二阶行列式，即行列式，即其中，其中， 称称为元素元素. .i 为行行标，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 为列列标，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原原则：横横行行竖列列第四页，共七十七页。二二阶行列式的行列式的计算算 主主对角角线 副副对角角线 即：主即：主对角角线上上两两元素之元素之积副副对角角线上上两两元素之元素之积 对角角线法法则 例例1 1 计算行列式算行列式第五页，共七十七页。二元二元线性方程性方程组 若令若令 ( (方程方程组的系的系数数行列式
3、行列式) )则上述二元上述二元线性方程性方程组的解可表示的解可表示为第六页，共七十七页。例例2 求解二元求解二元线性方程性方程组解解 因因为 所以所以 第七页，共七十七页。练习：1.1.计算算2.2.解方程解方程组第八页，共七十七页。2.二元二元线性方程性方程组 若令若令 ( (方程方程组的系的系数数行列式行列式) )则上述二元上述二元线性方程性方程组的解可表示的解可表示为小小结：1.1.二二阶行列式行列式第九页，共七十七页。( (二二) )、三阶行列式、三阶行列式定定义 设有有9个数个数排成排成3行行3列的列的数数表表原原则：横横行行竖列列引引进记号号称称为三三阶行列式行列式. .主主对角角
4、线 副副对角角线 二二阶行列式的行列式的对角角线法法则并并不适用！不适用！第十页，共七十七页。三三阶行列式的行列式的计算算 对角角线法法则 注意：注意：对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与与三三阶行列式行列式. . 实线上的三上的三个个元素的乘元素的乘积冠正冠正号号， 虚虚线上的三上的三个个元素的乘元素的乘积冠冠负号号. .第十一页，共七十七页。 也可以也可以将将前前两两列列写写在后面，然后按照在后面，然后按照实线乘乘积取正，取正，虚虚线乘乘积取取负的和。的和。第十二页，共七十七页。例例1 计算行列式算行列式 解解按按对角角线法法则，有，有第十三页，共七十七页。补充例充例2 计算行列式算行列
5、式 解解按按对角角线法法则，有，有第十四页，共七十七页。方程左端方程左端解解由由 得得补充例充例3 求解方程求解方程 第十五页，共七十七页。练习：计算行列式算行列式第十六页，共七十七页。小结：三阶行列式小结：三阶行列式三三阶行列式的行列式的计算算作作业：1111页, ,习题一一1 1题（4 4）（）（6 6）（）（8 8）（）（10)10)第十七页，共七十七页。二、行列式的性质二、行列式的性质行列式行列式 称称为行列式行列式 的的转置行列式置行列式. . 若若记 ，则 .记性性质1 行列式行列式与它与它的的转置行列式相等置行列式相等, ,即即 .第十八页，共七十七页。性性质1 行列式行列式与它
6、与它的的转置行列式相等置行列式相等. .证明明根据行列式的定根据行列式的定义，有，有若若记 ，则行列式中行行列式中行与与列具有同等的地位列具有同等的地位, ,行列式的性行列式的性质凡是凡是对行成立行成立的的对列也同列也同样成立成立. .第十九页，共七十七页。以三以三阶行列式行列式为例例验证：第二十页，共七十七页。性性质2 互互换行列式的行列式的两两行（列）行（列）, ,行列式行列式变号号. .验证于是于是备注：交注：交换第第 行（列）和第行（列）和第 行（列），行（列），记作作 . .第二十一页，共七十七页。性性质3 3 如果行列式有如果行列式有两两行（列）完全相同，行（列）完全相同，则此行列
7、式此行列式为零零. .证明明互互换相同的相同的两两行，有行，有 ，所以，所以 . 性性质4 4 如果行列式有如果行列式有一一行（列）全行（列）全为零零，则此行列式此行列式为零零第二十二页，共七十七页。性性质5 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个个倍倍数数 ，等于用，等于用数数 乘以此行列式乘以此行列式. .验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例. . 记 根据三根据三阶行列式的行列式的对角角线法法则，有，有备注：第注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作作 . .第二十三页，共七十七页。推推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到
8、行行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符列式符号号的外面的外面备注：第注：第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，记作作 . .第二十四页，共七十七页。验证我我们以以4阶行列式行列式为例例. . 推推论2 行列式中如果有行列式中如果有两两行（列）元素成比例，行（列）元素成比例，则此行列式此行列式为零零第二十五页，共七十七页。性性质6 若行列式的某一列（行）的元素都是若行列式的某一列（行）的元素都是两数两数之和之和, ,则此行列式此行列式等于等于两个两个行列式之和，而且行列式之和，而且这两个两个行列式除了行列式除了这一行（列）以外，一行（列）以外，其余的元素其余的元素与与原原
9、来来的行列式的行列式对应元素相同。元素相同。则例如例如：第二十六页，共七十七页。验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例. . 第二十七页，共七十七页。性性质7 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个个倍倍数数然后加到另然后加到另一列一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不的元素上去，行列式不变则验证我我们以以三三阶行列式行列式为例例. . 记 备注：以注：以数数 乘第乘第 行（列）加到第行（列）加到第 行（列）上，行（列）上，记作作 . .第二十八页，共七十七页。小结小结: :行列式的性行列式的性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它
10、的转置行列式相等. .性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .性质性质3 3 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. .性质性质4 4 如果行列式有如果行列式有一一行（列）全行（列）全为零为零，则此行列式为零，则此行列式为零性质性质5 5 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数k k，等于用数等于用数k k乘以此行列式乘以此行列式. .推论推论1 1 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号行列式的某一行（列）中所
11、有元素的公因子可以提到行列式符号的外面的外面推论推论2 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式 为零为零第二十九页，共七十七页。性质性质6 6 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和, ,则此行列式等于两个行列式之和，而且这两个行列则此行列式等于两个行列式之和，而且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来的行式除了这一行（列）以外，其余的元素与原来的行列式对应元素相同。列式对应元素相同。性质性质7 7 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍
12、数然后加到另一列数然后加到另一列( (行行) )对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变作作业：习题一一1 1（4 4）（）（6 6）（）（8 8）（）（9 9）（）（1010）2 2、3 3。第三十页，共七十七页。三、行列式按行(列)展开对角角线法法则只适用于二只适用于二阶与与三三阶行列式行列式. .本本节主要考主要考虑如何用低如何用低阶行列式行列式来来表示高表示高阶行列行列式式. .第三十一页，共七十七页。一、引言结论 三三阶行列式可以用二行列式可以用二阶行列式表示行列式表示. .思考思考题 任意一任意一个个行列式是否都可以用行列式是否都可以用较低低阶的行列式表示？的行列式表示
13、？第三十二页，共七十七页。把把 称称为元素元素 的代的代数数余子式余子式在三在三阶行列式中，把元素行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列列划划后，留下后，留下来来的的二二阶行列式叫做元素行列式叫做元素 的余子式，的余子式，记作作 . 结论 因因为行行标和列和列标可唯一可唯一标识行列式的元素，所以行列式的元素，所以行列式中每一行列式中每一个个元素都分元素都分别对应着一着一个个余子式和一余子式和一个个代代数数余子式余子式. .第三十三页，共七十七页。例如：三例如：三阶行列式中行列式中代代数数余子式余子式：余子式余子式：第三十四页，共七十七页。定理定理 三阶行列式D等于它的任意一行（列
14、）的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：或或简写为：证明略！明略！第三十五页，共七十七页。 这样我们可以通过计算三个二阶行列式来计算三阶行列式这个定理称为拉普拉斯定理。拉普拉斯定理。例例2 2 将行列式 按第一行，第三列展开。解：解：按第一行展开得：第三十六页，共七十七页。按第三列展开：第三十七页，共七十七页。推论推论 三阶行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即或推论还可以写成：第三十八页，共七十七页。证明：行列式第i行（i=2）第j行（j=3）在D中的第3行用第2行元素代替，有从而有：同理可证第三十九页，共七十七页。 为叙述方便，引进以下记号：为叙
15、述方便，引进以下记号：（1 1）交换行列式的）交换行列式的 两行（列），记为两行（列），记为 ；（2 2）第）第 行（列）乘以行（列）乘以 ，记作作，记作作 第第 行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ， 记作记作 ；（3 3）将行列式的第）将行列式的第 行（列）乘行（列）乘 加到第加到第 行（列）上，记为行（列）上，记为 第四十页，共七十七页。例例3 3 计算解：解：第四十一页，共七十七页。 四、n 阶行列式定义定义称由 个数 排成 行 列组成的记号为 阶行列式，简记为 第四十二页，共七十七页。例如例如 把把 称称为元素元素 的代的代数数余子式余子式在在n 阶行列式中，把元素行列式中，把元素
16、 所在的第所在的第 行和第行和第 列列划划后，留下后，留下来来的的n1阶行列式叫做元素行列式叫做元素 的余子式，的余子式，记作作 . 结论 因因为行行标和列和列标可唯一可唯一标识行列式的元素，所以行列式的元素，所以行列行列式中每一式中每一个个元素都分元素都分别对应着一着一个个余子式和一余子式和一个个代代数数余子式余子式. .第四十三页，共七十七页。 n 阶行列式等于行列式等于它它的任一行（列）的各元素的任一行（列）的各元素与与其其对应的代的代数数余余子式乘子式乘积之和，即（按第之和，即（按第i行展行展开开） 行列式任一行（列）的元素行列式任一行（列）的元素与与另一行（列）的另一行（列）的对应元素的代元素的代数数余余子式乘子式乘积之和等于零，即（之和等于零，即（ i i行行与与j j列列) )综上所述，有上所述，有同理可得同理可得第四十四页，共七十七页。例4 由定义可得第四十五页，共七十七页。例5 计算下面行列式的值：解：按 展开第四十六页，共七十七页。按 展开第四十七页，共七十七页。例例6 6 证明证明证明：左明：左边加到加到提取公因子提取公因子一列乘（一列乘（-1-1）加）加到其到其
