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1、弯曲变形弯曲变形 补充补充L LLL LLL LLm mmm mmmmmmmmmm分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？L LLL LLL LLPLPLPLP PPPLPPLP分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？PLP直线直线PLP直线直线L LLL LLL LLm mmm mmmmmmmm分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？直线直线mm直线直线分析和讨论分析和讨论
2、分析和讨论分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？a aaa aaP PPPPPP分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？P PPa aaa aaPPPPM0例例例例例例 当当当 P P P 至少为多大时，才可能使梁的至少为多大时，才可能使梁的至少为多大时，才可能使梁的根部与圆柱表面产生贴合？根部与圆柱表面产生贴合？根部与圆柱表面产生贴合？ 当当当 P P P 足够足够足够大，使梁己经与圆柱面贴合，试根据大，使梁己经与圆柱面贴合，试根据大，使梁己经与圆柱面贴合，试根据 P P
3、P 决定贴合的长度。决定贴合的长度。决定贴合的长度。 至少应使梁根部挠曲线的曲率半径至少应使梁根部挠曲线的曲率半径至少应使梁根部挠曲线的曲率半径与与与 R R R 相同，才可能产生贴合。相同，才可能产生贴合。相同，才可能产生贴合。若若若在在在 C C C 处处处REIEIEIP PPL LLL LLRP PPEIEIEIC CCx3. 3. 3. 挠度微分方程挠度微分方程挠度微分方程挠度微分方程挠度微分方程挠度微分方程EIEIEI ：抗弯刚度：抗弯刚度：抗弯刚度 ( bending stiffness ) ( bending stiffness ) ( bending stiffness )等
4、截面梁中挠度各阶导数的意义：等截面梁中挠度各阶导数的意义：等截面梁中挠度各阶导数的意义：x xxy yyw w w ( (x xx) )o oox xx ( ( (x xx) )曲率的符号规定与弯矩相同。曲率的符号规定与弯矩相同。曲率的符号规定与弯矩相同。重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式重要公式) )( () )( (x xw wE E I Ix xMM = = = =7.2 7.2 7.2 7.2 积分法求梁的挠度积分法求梁的挠度积分法求梁的挠度积分法求梁的挠度EIEIEI 是常数是常数是常数7.2.1 7.2.1 7.2.1 弯矩方程积分的一般方法弯矩方程积分的一般方法弯矩方程积分
5、的一般方法弯矩方程积分的一般方法弯矩方程积分的一般方法弯矩方程积分的一般方法挠曲线微分方程挠曲线微分方程挠曲线微分方程积分一次积分一次积分一次再积分一次再积分一次再积分一次积分常数由约束条件确定积分常数由约束条件确定积分常数由约束条件确定积分常数由约束条件确定积分常数由约束条件确定积分常数由约束条件确定 当弯矩方程为分段函数时，则应分段积分，分段点存在当弯矩方程为分段函数时，则应分段积分，分段点存在当弯矩方程为分段函数时，则应分段积分，分段点存在光滑连接条件光滑连接条件光滑连接条件在分段点在分段点在分段点 处：处：处：挠度是连续的：挠度是连续的：挠度是连续的：挠度是光滑的：挠度是光滑的：挠度是
6、光滑的：a aaF FFL LL简支端处挠度为零。简支端处挠度为零。简支端处挠度为零。固定端处挠度为零，转角为零。固定端处挠度为零，转角为零。固定端处挠度为零，转角为零。a aaF FFL LLa aaF FFL LLa aaF FFL LLa aaF FFL LLw w w ( (a aa + +) )w w w ( (a aa ) )a aaF FFL LL ( (a aa ) ) ( (a aa + +) )L LLq qqx xxy yy例例例例例例 求图示梁的挠度曲线。求图示梁的挠度曲线。求图示梁的挠度曲线。qLqLqLqLqLqL2 22/ / 2 22x xx弯矩弯矩弯矩转角转角
7、转角挠度挠度挠度边界条件边界条件边界条件适于用积分法求梁的挠度曲线的情况适于用积分法求梁的挠度曲线的情况适于用积分法求梁的挠度曲线的情况1) 1) 1) 单个梁单个梁单个梁单个梁单个梁单个梁2) 2) 2) 等截面梁等截面梁等截面梁等截面梁等截面梁等截面梁q qqEIEIEI非等截面梁的挠度曲线方程应分段建立。非等截面梁的挠度曲线方程应分段建立。非等截面梁的挠度曲线方程应分段建立。非单梁的挠度曲线方程应分段建立。非单梁的挠度曲线方程应分段建立。非单梁的挠度曲线方程应分段建立。q qqq qqq qqEIEIEI2 22EIEIEI例例例例例例 悬臂梁未加载时为微弯曲线。今有移动荷载悬臂梁未加载
8、时为微弯曲线。今有移动荷载悬臂梁未加载时为微弯曲线。今有移动荷载 F F F 的作用，的作用，的作用，若要使若要使若要使 F F F 力作用点始终保持在水平线上，求初始曲线方程。力作用点始终保持在水平线上，求初始曲线方程。力作用点始终保持在水平线上，求初始曲线方程。 微弯梁的挠度仍可按直梁计算。微弯梁的挠度仍可按直梁计算。微弯梁的挠度仍可按直梁计算。故有故有故有F FFF FFF FFF FFF FFF FFF FFx xxy yy( (x xx) )设初始曲线方程为设初始曲线方程为设初始曲线方程为 y y y ( ( (x x x) ) )。F F F 作用而产生的挠度为作用而产生的挠度为作
9、用而产生的挠度为由题设由题设由题设w ww ( (x xx) )F FFx xxq qq2 22qaqaqaa aaa aa分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？q qqa aaa aa分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？q qq2 22qaqaqaa aaa aa分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论 哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？哪一种挠度曲线是正确的？q qq2 22qaqaqaa aaa aaq qq2 22qaq
10、aqaa aaa aaq qqa aaa aa分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论如果下面三种梁截面一样，它们的应力如果下面三种梁截面一样，它们的应力如果下面三种梁截面一样，它们的应力情况一样吗？情况一样吗？情况一样吗？公式公式公式公式公式公式是对的，是对的，是对的，结论结论结论结论结论结论是错的。是错的。是错的。结论结论结论结论结论结论是对的，是对的，是对的，公式公式公式公式公式公式是错的。是错的。是错的。公式公式公式公式公式公式是精确的，是精确的，是精确的，结论结论结论结论结论结论是近似的。是近似的。是近似的。结论结论结论结论结论结论是精确的，是精确的，是精确的，公式公式公式公式公式公
11、式是近似的。是近似的。是近似的。分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论如何把两者统一起来？如何把两者统一起来？如何把两者统一起来？ 对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有曲线的曲率处处相等，故有曲线的曲率处处相等，故有结论结论结论结论结论结论：挠度曲线为圆弧。但这一结：挠度曲线为圆弧。但这一结：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的论与书上的论与书上的公式公式公式公式公式公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：不吻合。对于这种
12、矛盾，正确的理解是： 对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有曲线的曲率处处相等，故有曲线的曲率处处相等，故有结论结论结论结论结论结论：挠度曲线为圆弧。但这一结：挠度曲线为圆弧。但这一结：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的论与书上的论与书上的公式公式公式公式公式公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是： 对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相
13、等，故挠度对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有曲线的曲率处处相等，故有曲线的曲率处处相等，故有结论结论结论结论结论结论：挠度曲线为圆弧。但这一结：挠度曲线为圆弧。但这一结：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的论与书上的论与书上的公式公式公式公式公式公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：m mmEIEIEI分析和讨论分析和讨论分析和讨论分析和讨论m mmEIEIEIR RR 对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度对于如图的结构，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度对于如图的结构
14、，有人认为，梁中弯矩处处相等，故挠度曲线的曲率处处相等，故有曲线的曲率处处相等，故有曲线的曲率处处相等，故有结论结论结论结论结论结论：挠度曲线为圆弧。但这一结：挠度曲线为圆弧。但这一结：挠度曲线为圆弧。但这一结论与书上的论与书上的论与书上的公式公式公式公式公式公式不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：不吻合。对于这种矛盾，正确的理解是：高阶小量高阶小量a aa/ / 2 224 44qaqaqaA AA2 22EIEIEI2 22a aaB BB3 33qaqaqa2 22EIEIEI求求求 B B B 点转角点转角点转角7.3 7.3 7.3 7.3 叠加法
15、计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角叠加法计算梁的挠度和转角动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔求求求 A A A 点挠度点挠度点挠度a aaa aa2 22qaqaqaA AAEIEIEI求求求 A A A 点转角点转角点转角利用已有结果计算：利用已有结果计算：利用已有结果计算：2 22a aaB BB3 33qaqaqa2 22EIEIEIa aa/ / 2 224 44qaqaqaA AA2 22EIEIEIB BBA AAF FFa aa 2 22a aa 2 22B BBA AAF FFa aa 2 22a aa 2 22A AAa aaa aa3
16、33qaqaqa2 22EIEIEIA AAa aaa aa3 33qaqaqa2 22EIEIEI动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔动脑又动笔利用已有结果计算利用已有结果计算利用已有结果计算(p351)(p351)(p351)：求求求 A A A 点转角点转角点转角例例例例例例 求图示自由端的挠度。求图示自由端的挠度。求图示自由端的挠度。w ww1 11w ww2 22 1. 1. 1. 荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组荷载的分解或重组叠加法的常用手法叠加法的常用手法叠加法的常用手法叠加法的常用手法叠加法的常用手法叠加法的常用手法 (2006.11.21 (2006.11.21 (2006.11.21 星期一星期一星期一星期一星期一星期一) ) )依据：依据：依据：依据：依据：依据：若荷载若荷载若荷载 A A A 在在在 K K K 点引起的（广义）位移为点引起的（广义）位移为点引起的（广义）位移为 a a a ，荷载，荷载，荷载 B B B 在在在 K K K 点引起的同类位移为点引起的同类位移为点引起的同类位移为 b b b，则荷载（，
