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1、第十一章第十一章 多元函数积分学多元函数积分学 第一节第一节 二重积分的概念与计算二重积分的概念与计算 第二节第二节 二重积分的概念与计算二重积分的概念与计算( (续续) ) 第三节第三节 二重积分应用举例二重积分应用举例 第一节二重积分的概念与计算 一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质1引例：曲顶柱体的体积引例：曲顶柱体的体积（1）曲顶柱体以曲面为顶（）以平面上的有界闭域为底，侧面是以的边界线为准线、母线平行于轴的柱面的立体（如图）称为曲顶柱体（2）曲顶柱体的体积如果曲顶柱体的高度不变，则它的体积等于底面积高，但曲顶柱体的顶是曲面，因此不能直接用上面的公式求例如，级数的一般项为又
2、如级数的一般项为简言之，数列的和式称为级数级数.定义定义2设级数（111）的前项之和为称Sn为级数的前项部分和前项部分和当依次取1，2，3，时，新的数列，数列称为级数的部分和数列部分和数列若此数列的极限存在，即(常数),则S 称为的和，记作此时称级数收收敛敛如果数列没有极限，则称级数发散发散，这时级数没有和当级数收敛时，其部分和是级数和S的近似值，称为级数的余项级数的余项，记作，即例例1判定级数的敛散性.解解已知级数的前n项和是：因为,所以这个级数收敛,其和为1.例例2判定级数的敛散性解解已知级数的前n项和是因为，所以这个级数发散.例例3讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性.解解(1)前n项和
3、当时，所以级数收敛，其和当时，所以级数发散.(2)当时，于是所以级数发散.当时，其前n项和显然，当n时，Sn没有极限.所以，级数发散.综上所述，等比级数，当时收敛,当时发散.例如，级数1+2+4+8+2n-1+是公比为2的几何级数,由于，所以级数是发散的级数是公比为-1的几何级数,由于，所以该级数发散.注注意意几何级数的敛散性非常重要.无论是用比较判别法判别级数的敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.例例4把循环小数化为分数.解解把化为无穷级数这是公比为的几何级数，由等比数列求和公式所以这个无穷级数的和为，即2数项级数的基本性质数项级数的基本性质 性性质质1如果
4、级数收敛，其和为s, k为常数，则级数也收敛，其和为ks；如果级数发散，当k0时，级数也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变.性性质质2若级数与分别收敛于与，则级数，收敛于性性质质3添加、去掉或改变级数的有限项，级数的敛散性不变.性性质质4 若级数收敛，则对其各项间任意加括号后所得的级数仍收敛，且其和不变.应当注意，性质4的结论反过来并不成立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛.例如级数（1-1）+（1-1）+（1-1）+显然收敛于零，但级数1+1-1+1-1+却是发散的.性质性质5（两边夹定理）如果且和都收敛，则也收敛性质性质6（级数收敛的必要条件）若级数收敛，
5、则例例5判别级数的敛散性解解因为所以级数发散.例例6判别级数的敛散性.解解级数与级数都收敛，故由性质2知，级数收敛.注注意意 性质6可以用来判定级数发散：如果级数一般项不趋于零，则该级数必定发散.应当看到，性质6只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使，也不能由此判定级数收敛.下面的例9正说明了这一点：，但级数发散.例例7证明调和级数是发散级数.证证调和级数部分和如图，考察曲线，所围成的曲边梯形的面积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.所以，阴影部分的总面积为它显然大于曲边梯形的面积S，即有而，表明A的极限不存在，所以该级数发散.二、正项级数及其敛散性二、正项级数及
6、其敛散性如果0（n=1,2,3），则称级数为正项级数正项级数定定理理1正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界.例例1证明正项级数是收敛的证证因为于是对任意的有即正项级数的部分和数列有界，故级数收敛.定理定理2（比较判别法）设和是两个正项级数，且(1)若级数收敛，则级数也收敛；(2)若级数发散，则级数也发散.例例2 讨论级数（）的敛散性解解 当时，因为发散，所以由比较判别法知，当时，发散.当时，顺次把级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得它的各项显然小于级数对应的各项，而所得级数是等比级数，其公为 ，故收敛，于是当时，级数收敛.综上所述，级数当时发散，当时收敛.注
7、注意意级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关级数敛散性的结论必须牢记. 例例3判定级数的敛散性. 解解 因为级数的一般项满足而级数是p2的级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.例例4 判别级数的敛散性.解解因为而是由调和级数去掉前两项后所得的级数，它是发散的，所以由比较判别法知级数发散.定理定理3（达朗贝尔比值判别法）设是一个正项级数，并且，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散.例例5判别下列级数的敛散性(1)；(2) 解解(1)所以级数发散；(2)所以级数收敛.要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的必要条件
8、如果，则级数发散，否则需进一步判断.(2)用比值判别法如果，即比值判别法失效，则改用比较判别法.(3)用比较判别法用比较判别法必须掌握一些敛散性已知的级数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数，级数等.三、交错级数及其敛散性三、交错级数及其敛散性级数称为交错级数交错级数.定理定理4（莱布尼兹判别法）如果交错级数满足莱布尼兹(Leibniz)条件:(1)(2)则级数收敛，其和S，其余项例例6判定交错级数的敛散性.解解此交错级数，满足：(1)；(2)由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛 定定义义3对于任意项级数,若收敛，则称是绝绝对对收敛
9、收敛的；若收敛，而发散，则称是条件收敛条件收敛的.定理定理5绝对收敛的级数必是收敛的.事实上，如果收敛，由于故从性质1及性质5知也是收敛的.例例7判定级数的敛散性.解解因为，而级数收敛，故由比较判别法可知级数收敛，从而原级数绝对收敛.例例8判别级数的敛散性，说明是否绝对收敛.解解因为故由比值判别法可知级数收敛，所以原级数绝对收敛.例例9判别级数是否绝对收敛.解解 因为故由比值判别法可知级数发散，从而原级数不是绝对收敛.例例10证明级数条件收敛.证证由莱布尼兹判别法知级数收敛，而为调和级数，它是发散的，故所给级数条件收敛. 第二节第二节 幂级数幂级数 一、幂级数的概念一、幂级数的概念如果级数 (
10、 11.2) 的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数（）为函函数数项项级级数数，un(x)称为一般项一般项或通项通项.当x在I中取某个特定值 时，函数项级数）就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收收敛敛点点。若发散，则称点 为这个级数的发散点发散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域收敛域. 对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的和是 x 的函数S(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数和函数，即其中x 是收敛域内的任一点.将函数项级数的前项和记作，则在收敛域上有2.幂级数的
11、概念幂级数的概念 形如(11.3)的函数项级数，称为的幂级数的幂级数，其中常数称为幂级数的系数幂级数的系数.当0时，（）幂级数变为(11.4)称为x 的幂级数的幂级数.(1)幂级数的收敛半径x的幂级数各项取绝对值，则得到正项级数由比值判敛法其中当时，若，即，则级数(11.4)收敛，若即，则级数（）发散.这个结果表明，只要就会有一个对称开区间（-，），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂级数发散，当x=R 时，级数可能收敛也可能发散.称为幂级数（）的收敛半径收敛半径.当时，则级数（）对一切实数x都绝对收敛，这时收敛半径.如果幂级数仅在x0一点处收敛，则收敛半径R0. 定理定理1如果x的幂级
12、数（）的系数满足则(1)当时，(2)当时，(3)当时，(2)幂级数的收敛区间若幂级数(11.4)的收敛半径为R，则（-R，R）称为该级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间的端点xR代入级数中，判定数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.例例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域(1)(2)(3)解解(1)因为所以幂级数的收敛半径.所以该级数的收敛域为（-，+）；(2)因为所以所给幂级数的收敛半径R=1.因此该级数的收敛区间为（-1，1）当x1时，级数为调和级数，发散；当x=-1时，级数为交错级数，收敛故该级数的收敛域为-1,1).(3)因为所以所给幂级数的收敛半径.因此没有收敛区
13、间，收敛域为，即只在处收敛.例例2求幂级数的收敛半径解解所给级数缺少偶次方项，根据比值法求收敛半径当，即时，所给级数绝对收敛；当，即时，所给级数发散.因此，所给级数的收敛半径.二、幂级数的性质二、幂级数的性质性质性质1幂级数的和函数在收敛区间内连续，即若，x（-R，R）则在收敛区间内连续. 性质性质2 设记，则在（-R,R）内有如下运算法则：(1)加（减）法运算(2)乘法运算性性质质3（微分运算）设，收敛半径为R，则在（-R ,R）内这个级数可以逐项求导，即且收敛半径仍为R .性性质质4（积分运算）设，收敛半径为R，则在（-R ,R）内这个级数可以逐项积分，即且收敛半径仍为.例例3已知，利用逐
14、项积分的性质，可以得到当x =-1时，收敛；当x =1时，发散.故收敛域为-1,1)，即例例4求的和函数解解设两端求导得两端积分得即当x=-1时，收敛；当x=1时，收敛，所以三、将函数展开成幂级数三、将函数展开成幂级数 1泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式与麦克劳林公式(1)泰勒公式定理定理2（泰勒中值定理）如果函数f(x)在x0的某邻域内有直至n+1阶导数，则对此邻域内任意点x，有的n 阶泰勒公式成立，其中为阶泰勒公式的余项，当时，它是比高阶的无穷小，余项的拉格朗日型表达式为(2)麦克劳林公式在泰勒公式中当时，则有麦克劳林公式其中，2、泰勒级数与麦克劳林级数、泰勒级数与麦克劳林级数设f(x)在所
15、讨论的邻域内具有任意阶导数称级数为在处的泰勒级数，其系数 n+1项和由泰勒公式得：因此当时，必有即泰勒级数收敛，其和函数为.反之，如果级数收敛于于是得到下面的定理. 定理定理3如果在的某个邻域内，函数具有任意阶导数，则函数的泰勒级数（）收敛于的充分必要条件是：当时泰勒余项如果在处的泰勒级数收敛于，就说在处可展开称泰勒级数，则(11.6)式为在处的泰勒展开式，也称关于的幂级数，也记为当时，（）式成为称为函数f(x)的麦克劳林展开式，也记为3、将函数展开成幂级数的方法、将函数展开成幂级数的方法 (1)直接展开法把 f (x)展开成的幂级数，可按下列步骤进行：求出f (x)的各阶导数计算f (x)及
16、其各阶导数在x0处的值，写出幂级数并求出它的收敛区间；考察当x在收敛区间内时，余项的极限是否为零，如果为零，则由上式所求得的幂级数就是f (x)的幂级数的展开式. 例例1将函数展开成 x的幂级数 解解因为 n=1，2，3，所以， n=1，2，3，又,f (0)=1因此得级数，它的收敛区间为.对于任何实数x，有因是收敛级数的通项，所以而是有限正实数，因此即,因此从而得到的幂级数展开式例例2将函数展开成x的幂级数 解解因为，n1，2，3而f(n)(0)顺次循环取四个数1，0，-1，0，所以得级数对于任何有限实数，于是得的幂级数展开式类似地，还可以得到下述函数的幂级数展开式：（-1，1）当m为实数时，它的收敛半径R=1，在处展开式是否成立，要根据m的数值，看右端级数是否收敛而定.例如当m =-1时(-1,1)(2)间接展开法间接展开法是指从已知函数的展开式出发，利用幂级数的运算规则得到所求函数的展开式的方法.例例3将函数展开成x的幂级数 解解 已知（-，+）而利用逐项求导公式，得到（-，+） 例例4将函数展开成x 的幂级数 解解已知（-1，1）将上式从0到x逐项积分，得到这个级数的收敛半径R
